高等數學無窮級數

第八章無窮級數第八章無窮級數常數項級數的概念和性質函數項級數 結束結束常數項級數斂散性判別法函數展開為冪級數函數展開為傅里葉級數第一節(jié) 常數項級數的概念和性質一.無窮級數的概念二.級數收斂的必要條件三.無窮級數的基本性質 一.無窮級數的概念1.無窮級數的定義設有數列 un:u1,u2,un,為一個無窮級數,簡稱為級數.稱 un 為級數的一般項或通項.則稱表達式下列各式均為常數項級數例1下列各式均為函數項級數例22.級數的斂散性定義無窮級數的前 n 項之和：稱為級數的部分和.若存在,則稱級數收斂.S 稱為級數的和：若不存在(包括為),發(fā)散.則稱級數討論等比級數的斂散性.等比級數的部分和為：當公比|r|1 時,當公比 r=1時,Sn=a,n為奇數0,n為偶數當公比當公比|r|1 時時,等比級數收斂；等比級數收斂；當公比 r=1時,當公比當公比|r|1 時時,等比級數發(fā)散等比級數發(fā)散.綜上所述,討論級數的斂散性.解解例4而故即該級數收斂,其和為二.級數收斂的必要條件若級數收斂,則必有定理證證設由于故該級數發(fā)散.解解例5證明調和級數是發(fā)散的:調和級數的部分和有：證證例6由數學歸納法,得 k=0,1,2,而故 不存在,即調和級數發(fā)散.三.無窮級數的基本性質 若 c 0 為常數,則與1.性質性質 1有相同的斂散性,且 證證的部分和為的部分和為故同時收斂或同時發(fā)散,即與且有2.性質性質 2證證的部分和為：故即 級數收斂,且 因為等比級數所以級數例7問 題 一個收斂級數與一個發(fā)散級數的和是收斂的還是發(fā)散的？是發(fā)散的問 題 兩個發(fā)散的級數之和是收斂的還是發(fā)散的？不一定 但對收斂級數來說,它的和將改變.在一個級數的前面加上或者去掉有限項后,所得到的新的級數與原級數的斂散性相同.3.性質性質 3證證設級數的部分和為 Sn,去掉級數的前面 m 項后得到的級數的部分和為由于 Sm 當 m 固定時為一常數,所以故 級數與級數級數仍然收斂,且其和不變.對收斂的級數加括號后所得到的新 在級數運算中,不能隨意加上或去掉括 號,因為這樣做可能改變級數的斂散性.4.性質性質 4問 題 收斂的級數去掉括號后所成的級數仍收斂嗎？不一定問 題 發(fā)散的級數加括號后所成的級數是否仍發(fā)散？不一定問 題 如果加括號后的級數仍發(fā)散,原級數是否也發(fā)散？原級數也發(fā)散加括號可引起收斂,去括號可引起發(fā)散.。