河南省鄭州市2024屆高三數(shù)學下學期考前全真模擬考試

2024屆高三考前全真模擬考試數(shù)學（考試時間：120分鐘 試卷滿分：150分）第一部分（選擇題 共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1．在復平面內(nèi)，復數(shù)z對應的點的坐標是-1,3，則z的共軛復數(shù)z=（）A．1+3i B．1-3i C．-1+3i D．-1-3i2．若xy≠0，則“x+y=0”是“xy+yx=-2”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件3．已知sinα-β=13,cosαsinβ=16，則cos2α+2β=（）A．79 B．19 C．-19 D．-794．若fx=x+aln2x-12x+1為偶函數(shù)，則a=（）A．-1 B．0 C．12 D．15．對三組數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計，獲得以下散點圖關(guān)于其相關(guān)系數(shù)依次是r1,r2,r3，則它們的大小關(guān)系是（）A．r1>r3>r2 B．r1>r2>r3 C．r2>r1>r3 D．r3>r1>r26．已知函數(shù)fx=aex-lnx在區(qū)間1,2上單調(diào)遞增，則a的最小值為（）A．e2 B．e C．e?-1 D．e?-27．已知雙曲線x2a2-y2b2=1a>0,b>0，過實軸所在直線上任意一點Nt,0的弦的端點A,B與點Gm,0的連線所成的角被焦點所在的直線平分，即∠NGA=∠NGB，則m的值為（）A．a(chǎn)?2t B．ta2 C．t2 D．a(chǎn)t28．已知y=fx+1+1為奇函數(shù)，則f-2+f-1+f0+f1+f2+f3+f4=（）A．-14 B．14 C．-7 D．7二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分. 在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求. 全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9．下列說法中，錯誤的為 ?.A．有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐；B．有兩個面互相平行，其余四個面都是等腰梯形的六面體是棱臺；C．底面是等邊三角形，側(cè)面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐；D．棱錐的側(cè)棱長與底面多邊形的邊長相等，則此棱錐不可能是正六棱錐.10．已知M={afa=0},N={βgβ=0}，若存在α∈M,β∈N，使得α-β

12．設(shè)a>0,b>0，記M為1a,b,a+3b三個數(shù)中最大的數(shù)，則M的最小值 ?.13．已知雙曲線C:x?2a?2-y?2b?2=1a>0,b>0的左，右焦點分別為F1,F2. 點A在C上，點B在y軸上，F(xiàn)1A⊥F1B,F2A=-23F2B，則C的離心率為 ?.14．如圖，在三棱錐P-ABC中，點O為AB的中點，點P在平面ABC內(nèi)的射影恰為OB的中點E，已知AB=2PO=2，點C到OP的距離為3，則當∠ACB最大時，直線PC與平面PAB所成角的大小為 ?.四、解答題：本題共5小題，共77分解答應寫出文字說明、證明過程或演算步聚15．記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c，已知△ABC面積為3，D為BC的中點，且AD=1.（1）若∠ADC=π3，求tanB；（2）若b?2+c?2=8，求b,c.16．已知函數(shù)fx=ae?x+a-x.（1）討論fx的單調(diào)性；（2）證明：當a>0時，fx>2lna+32.17．如圖，三棱錐A-BCD中，DA=DB=DC,BD⊥CD,∠ADB=∠ADC=60?°，E為BC中點.（1）證明BC⊥DA;（2）點F滿足EF=DA，求二面角D-AB-F的正弦值.18．一醫(yī)療團隊為研究某地的一種地方性疾病與當?shù)鼐用竦男l(wèi)生習慣（衛(wèi)生習慣分為良好和不夠良好兩類）的關(guān)系，在已患該疾病的病例中隨機調(diào)查了100例（稱為病例組），同時在未患該疾病的人群中隨機調(diào)查了100人（稱為對照組），得到如下數(shù)據(jù)：不夠良好良好病例組4060對照組9010（1）能否有99%的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習慣有差異？（2）從該地的人群中任選一人，A表示事件“選到的人衛(wèi)生習慣不夠良好”，B表示事件“選到的人患有該疾病”，PB∣APB∣A與PB∣APB∣A的比值是衛(wèi)生習慣不夠良好對患該疾病風險程度的一項度量指標，記該指標為R.（ⅰ）證明：R=PA|BPA|B?PA|BPA|B；（ⅱ）用該數(shù)據(jù)，給出PA∣B,PA∣B的估計值，并利用（?。┑慕Y(jié)果給出R的估計值.附：K2=nad-bc2a+bc+da+cb+d.PK2≥k0.0500.0100.001k3.8416.63510.82819．阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線》一書中，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是已知動點M與兩定點Q,P的距離之比MQMP=λλ>0,λ≠1，λ是一個常數(shù)，那么動點M的軌跡就是阿波羅尼斯圓，圓心在直線PQ上. 已知動點M的軌跡是阿波羅尼斯圓，其方程為x?2+y?2=4，定點分別為橢圓C:x?2a?2+y?2b?2=1a>b>0的右焦點F與右頂點A，且橢圓C的離心率為e=12.（1）求橢圓C的標準方程；（2）如圖，過右焦點F斜率為kk>0的直線l與橢圓C相交于B,D（點B在x軸上方），點S,T是橢圓C上異于B,D的兩點，SF平分∠BSD,TF平分∠BTD.（?。┣驜SDS的取值范圍；（ⅱ）將點S、F、T看作一個阿波羅尼斯圓上的三點，若△SFT外接圓的面積為81π8，求直線l的方程.【參考答案】2024屆高三考前全真模擬考試第一部分（選擇題 共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。

在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1．D 2．C 3．B 4．B 5．A 6．C 7．A 8．C二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分. 在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求. 全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9．ABC 10．BC 11．BCD第二部分（非選擇題 共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分12．213．35514．π3四、解答題：本題共5小題，共77分解答應寫出文字說明、證明過程或演算步聚15．（1） 【解答】解：D為BC中點，S△ABC=3，則S△ACD=32，過A作AE⊥BC，垂足為E，如圖所示：△ADE中，DE=12,AE=32,S△ACD=12?32CD=32，解得CD=2,∴BD=2,BE=52，故tanB=AEBE=3252=35；（2） 法一：AD=12AB+AC，AD?2=14c?2+b?2+2bccosA，AD=1,b?2+c?2=8，則1=148+2bccosA，∴bccosA=-2①，S△ABC=12bcsinA=3，即bcsinA=23②，由①②解得tanA=-3，∴A=2π3,∴bc=4，又b?2+c?2=8,∴b=c=2.法二，設(shè)∠ADC=α,cosα=1+a24-b22?1?a2，cosπ-α=a2+1-c22?1?c2，兩式化簡整理可得，2+a?22-b?2-c?2=0,b?2+c?2=8,則a=23，△ABC面積為3，D為BC的中點，則S△ACD=12×1×3×sinα=32，解得sinα=1，即α=π2，故b=c=2.16．（1） 【解答】解：fx=ae?x+a-x,則f?'x=ae?x-1,①當a≤0時，f?'x<0恒成立，fx在R上單調(diào)遞減，②當a>0時，令f?'x=0得，x=ln1a,當x∈-∞,ln1a時，f?'x<0,fx單調(diào)遞減；當x∈ln1a,+∞時，f?'x>0,fx單調(diào)遞增，綜上所述，當a≤0時，fx在R上單調(diào)遞減；當a>0時，fx在-∞,ln1a上單調(diào)遞減，在ln1a,+∞上單調(diào)遞增.（2） 證明：由（1）可知，當a>0時，fxmin=fln1a=a1a+a-ln1a=1+a2+lna,要證fx>2lna+32，只需證1+a2+lna>2lna+32,只需證a2-lna-12>0,設(shè)ga=a2-lna-12,a>0,則g?'a=2a-1a=2a?2-1a令g?'a=0得，a=22,當a∈0,22時，g?'a<0,ga單調(diào)遞減，當a∈22,+∞時，g?'a>0,ga單調(diào)遞增，所以ga≥g22=12-ln22-12=-ln22>0,即ga>0,所以a2-lna-12>0得證，即fx>2lna+32得證.17．（1） 【解答】證明：連接AE,DE,∵DB=DC,E為BC中點.∴DE⊥BC,又∵DA=DB=DC,∠ADB=∠ADC=60?°，∴△ACD與△ABD均為等邊三角形，∴AC=AB,∴AE⊥BC,AE∩DE=E,∴BC⊥平面ADE,∵AD?平面ADE,∴BC⊥DA.（2） 解：設(shè)DA=DB=DC=2,∴BC=22，∵DE=AE=2,AD=2,∴AE?2+DE?2=4=AD?2,∴AE⊥DE,又∵AE⊥BC,DE∩BC=E,∴AE⊥平面BCD,以E為原點，建立如圖所示空間直角坐標系，D2,0,0,A0,0,2,B0,2,0,E0,0,0,∵EF=DA,∴F-2,0,2，∴DA=-2,0,2,AB=0,2,-2,AF=-2,0,0,設(shè)平面DAB與平面ABF的一個法向量分別為n1=x1,y1,z1,n2=x2,y2,z2,則{-2x1+2z1=02y1-2z1=0，令x1=1，解得y1=z1=1,{2y2-2z2=0-2x2=0，令y2=1，解得x2=0,x2=1,故n1=1,1,1,n2=0,1,1,設(shè)二面角D-AB-F的平面角為θ，則∣cosθ∣=∣n1?n2∣∣n1∣∣n2∣=23×2=63，故sinθ=33,所以二面角D-AB-F的正弦值為33.18．（1） 【解答】解：補充列聯(lián)表為：不夠良好良好合計病例組4060100對照組1090100合計50150200計算K2=200×40×90-10×602100×100×50×150=24>6.635,所以有99%的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習慣有差異.（2） （?。?證明：R=PB∣APB∣A:PB∣APB∣A=PB∣APB∣A?PB∣APB∣A=PABPAPABPA?PABPAPABPA=PAB?PABPAB?PAB=PABPBPABPB?PABPBPABPB=PA∣BPA∣B?PA∣BPA∣B；（ⅱ） 利用調(diào)查數(shù)據(jù)，PA|B=40100=25,PA|B=10100=110,PA|B=1-PA|B=35，PA|B=1-PA|B=910,所以R=2535×910110=6.19．（1） 【解答】解：設(shè)Mx,y，由題意MFMA=x-c2+y2x-a2+y2=λ（常數(shù)），整理得x2+y2+2x-2aλ2λ2-1x+λ2a2-c2λ2-1=0,故{2c-2aλ2λ2-1=0λ2a2-c2λ2-1=-4，又ca=12，解得a=22,c=2.∴b?2=a?2-c?2=6，橢圓C的方程為x?28+y?26=1.（2） （?。?由S△SBFS△SDF=12SB?SF?sin∠BSF12SD?SF?sin∠DSF=SBSD，又S△SBFS△SDF=∣BF∣∣DF∣，∴∣BS∣∣DS∣=∣BF∣∣DF∣,（或由角平分線定理得）令BFDF=λ，則BF=λFD，設(shè)Dx0,y0，則有3x0?2+4y0?2=24,又直線l的斜率k>0，則x0∈-22,2，{xB=2λ+1-λx0yB=-λy0，代入3x?2+4y?2-24=0，得3[21+λ-λx0]2+4λ2y02-24=0,即λ+15λ-3-2λx0=0，∵λ>0,∴λ=35-2x0∈13,1.（ⅱ） 由（ⅰ）知，∣SB∣∣SD∣=∣TB∣∣TD∣=∣BF∣∣DF∣，由阿波羅尼斯圓定義知，S,T,F在以B,D為定點得阿波羅尼斯圓上，設(shè)該圓圓心為C1，半徑為r，與直線l的另一個交點為N，則有∣BF∣∣DF∣=∣NB∣∣ND∣，即∣BF∣∣DF∣=2r-∣BF∣2r+∣DF∣，解得r=11BF-1DF.又S圓C1=πr2=818π，故r=922,∴1BF-1DF=229，又|DF∣=x0-22+y02=x0-22+6-34x02=22-12x0，∴1∣BF∣-1∣DF∣=1λ∣DF∣-1∣DF∣=5-2x0322-12x0-122-12x0=2-2x0322-12x0=229，解得x0=-22,y0=-6-34x02=-3104，∴k=-y02-x0=52，∴直線l的方程為y=52x-102.。