高等數(shù)學(xué)--留數(shù)

單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級(jí),第三級(jí),第四級(jí),第五級(jí),*,第二節(jié) 留 數(shù),一、留數(shù)的引入,二、利用留數(shù)求積分,三、在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù),四、典型例題,五、小結(jié)與思考,1,一、留數(shù)的引入,設(shè),為,的一個(gè)孤立奇點(diǎn),;,內(nèi)的洛朗級(jí)數(shù),:,在,.,的某去心鄰域,鄰域內(nèi)包含,的任一條正向簡(jiǎn)單閉曲線,2,0,(,高階導(dǎo)數(shù)公式,),0,(,柯西,-,古薩基本定理,),3,定義,記作,的一個(gè)孤立奇點(diǎn),則沿,內(nèi)包含,的,任意一條簡(jiǎn)單閉曲線,C,的積分,的值除,后所得的數(shù)稱為,以,如果,4,二、利用留數(shù)求積分,說明,:,2.,留數(shù)定理將沿封閉曲線,C,積分轉(zhuǎn)化為求被積,函數(shù)在,C,內(nèi)各孤立奇點(diǎn)處的留數(shù),.,1.,留數(shù)定理,在區(qū)域,D,內(nèi)除有限個(gè)孤,外處處解析,C,是,D,內(nèi)包圍諸奇,點(diǎn)的一條正向簡(jiǎn)單閉曲線,那末,立奇點(diǎn),函數(shù),1.,f(z,),在,C,上及,C,內(nèi)除有限個(gè)奇點(diǎn)外處處解析,.,.,.,5,證,證畢,兩邊同時(shí)除以 且,.,.,.,如圖,6,2.,留數(shù)的計(jì)算方法,(1),如果,為,的可去奇點(diǎn),如果 為 的一級(jí)極點(diǎn),那末,規(guī)則,1,成洛朗級(jí)數(shù)求,(2),如果,為,的本性奇點(diǎn),(3),如果,為,的極點(diǎn),則有如下計(jì)算規(guī)則,展開,則需將,7,如果 為 的 級(jí)極點(diǎn),規(guī)則,2,證,那末,8,+(,含有 正冪的項(xiàng),),兩邊求,階導(dǎo)數(shù),證畢,得,9,規(guī)則,3,如果,設(shè),及,在,都解析，,證,的一級(jí)零點(diǎn),為,的一級(jí)極點(diǎn),.,為,那末,為,的一級(jí)極點(diǎn),且有,10,解析且,在,因此,其中 在 解析且,為 的一級(jí)極點(diǎn),11,三、在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù),注意積分路線取順時(shí)針方向,說明,記作,1.,定義,設(shè)函數(shù),在圓環(huán)域,內(nèi)解析，,C,為圓環(huán)域內(nèi)繞原點(diǎn)的任何一條正向簡(jiǎn)單閉曲線，,12,.,.,.,.,.,.,.,證,由留數(shù)定義有,:,(,繞原點(diǎn)的并將,內(nèi)部的正向簡(jiǎn)單閉曲線,),包含在,2.,定理二,如果函數(shù),在擴(kuò)充復(fù)平面內(nèi)只有有限個(gè),孤立奇點(diǎn),那末,在所有各奇點(diǎn),(,包括,點(diǎn),),的留數(shù)的總和必等于零,.,證畢,13,說明,:,由定理得,(,留數(shù)定理,),計(jì)算積分,計(jì)算無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù),.,優(yōu)點(diǎn),:,使計(jì)算積分進(jìn)一步得到簡(jiǎn)化,.,(,避免了計(jì)算諸有限點(diǎn)處的留數(shù),),14,3.,在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)處留數(shù)的計(jì)算,規(guī)則,4,說明,:,定理二和規(guī)則,4,提供了,計(jì)算函數(shù)沿閉曲線,積分的又一種方法,:,此法在很多情況下此法更為簡(jiǎn)單,.,15,現(xiàn)取正向簡(jiǎn)單閉曲線,C,為半徑足夠大的,正向圓周,:,于是有,證,16,內(nèi)除,在,外無其他奇點(diǎn),.,證畢,17,四、典型例題,例,1,求,在,的留數(shù),.,解,18,例,2,求,在,的留數(shù),.,分析,是,的三級(jí)零點(diǎn),由規(guī)則,3,得,計(jì)算較麻煩,.,19,如果利用洛朗展開式求,較方便,:,解,20,說明,:,如 為,m,級(jí)極點(diǎn)，當(dāng),m,較大而導(dǎo)數(shù)又難以計(jì)算時(shí),可直接展開洛朗級(jí)數(shù)求,來計(jì)算留數(shù),.,2.,在應(yīng)用規(guī)則,2,時(shí),取得比實(shí)際的級(jí)數(shù)高,.,級(jí)數(shù)高反而使計(jì)算方便.,1.,在實(shí)際計(jì)算中應(yīng)靈活運(yùn)用計(jì)算規(guī)則,.,為了計(jì)算方便一般不要將,m,但有時(shí)把,m,取得比實(shí)際的,如上例取,21,例,3,求,在,的留數(shù),.,解,是,的四級(jí)極點(diǎn),.,在,內(nèi)將,展成洛朗級(jí)數(shù),:,22,例,4,計(jì)算積分,C,為正向圓周,:,解,為一級(jí)極點(diǎn),為二級(jí)極點(diǎn),23,24,例,5,計(jì)算積分,C,為正向圓周,:,函數(shù),在,的外部,除,點(diǎn)外沒有,其他奇點(diǎn),.,解,根據(jù)定理,2,與規(guī)則,4:,25,與以下解法作比較,:,被積函數(shù),有四個(gè)一級(jí)極點(diǎn),都,在圓周,的內(nèi)部,所以,由規(guī)則,3,26,可見,利用無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)更簡(jiǎn)單,.,例,6,計(jì)算積分,C,為正向圓周,:,解,除,被積函數(shù),點(diǎn)外,其他奇點(diǎn)為,27,由于,與,1,在,C,的內(nèi)部,則,所以,28,五、小結(jié)與思考,本節(jié)我們學(xué)習(xí)了留數(shù)的概念、計(jì)算以及留數(shù),定理,.,應(yīng)重點(diǎn)掌握計(jì)算留數(shù)的一般方法,尤其是極,點(diǎn)處留數(shù)的求法,并會(huì)應(yīng)用留數(shù)定理計(jì)算閉路復(fù),積分,.,29,思考題,z=0,是可去奇點(diǎn)，,z=1,是一級(jí)極點(diǎn),利用,提示：,30,思考題答案,放映結(jié)束，按,Esc,退出,.,31,。