重慶市2024屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期5月模擬預(yù)測七[含答案]

數(shù)學(xué)（考試時(shí)間：120分鐘；試卷滿分：150分）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上．2．回答選擇題時(shí)，進(jìn)出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)來后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知集合，則（ ）A． B． C． D．2．在復(fù)平面內(nèi)，若復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為是虛數(shù)單位，則（ ）A． B．1 C． D．23．如圖，圓O內(nèi)接邊長為1的正方形是?。òǘ它c(diǎn)）上一點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）A． B． C． D．4．已知函數(shù)，先將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度，再將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，即可得到函數(shù)的圖象．若函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則（ ）A． B． C． D．5．已知函數(shù)是定義在R上周期為4的奇函數(shù)，且則不等式在上的解集為（ ）A． B． C． D．6．已知，則（ ）A． B． C．或2 D．27．已知橢圓的左焦點(diǎn)為，直線與C分別交于兩點(diǎn)（A在x軸上方），與y軸交于點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)．若，則C的離心率為（ ）A． B． C． D．8．如圖，已知四邊形是平行四邊形，分別是的中點(diǎn)，點(diǎn)P在平面內(nèi)的射影為與平面所成角的正切值為2，則直線與所成角的余弦值為（ ）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．若實(shí)數(shù)滿足，則（ ）A． B． C． D．10．已知拋物線，過焦點(diǎn)F的直線與C交于兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列說法正確的有（ ）A．存在弦，使得中點(diǎn)的坐標(biāo)為 B．當(dāng)時(shí)，C．的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離小于D．當(dāng)直線的斜率時(shí)，11．已知定義在R上的函數(shù)，當(dāng)時(shí)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，當(dāng)時(shí)，恒有成立．函數(shù)，則（ ）A． B．C．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱 D．方程有且僅有2個(gè)實(shí)數(shù)根三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．袋中裝有9個(gè)除顏色外完全相同的球，其中紅色球有3個(gè)，藍(lán)色球有6個(gè)，現(xiàn)甲、乙，丙三人從中不放回地依次各抽一球，則至少有一人抽到紅色球的概率為_______．13．在正項(xiàng)等比數(shù)列中，，則的最大值為_______．14．已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)均在球O上，平面為等腰直角三角形，A為直角頂點(diǎn)．若，且，則球O的表面積為_______．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（13分）為豐富第二課堂，拓展素質(zhì)教育，某校鼓勵(lì)學(xué)生參加書法興趣小組和繪畫興趣小組，開展相關(guān)實(shí)踐活動(dòng)．該校共有3000名學(xué)生，為了解學(xué)生的參加情況，從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取150名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，發(fā)現(xiàn)有5人沒有參加興趣小組，且樣本中僅參加書法興趣小組和僅參加繪畫興趣小組的學(xué)生每周投入時(shí)間情況如下表：興趣小組活動(dòng)類別投入時(shí)間（小時(shí)/周）大于10僅參加書法興趣小組人數(shù)z25301510僅參加繪畫興趣小組人數(shù)y1020255（1）用頻率估計(jì)概率，試估計(jì)全校學(xué)生中書法興趣小組和繪畫興趣小組都參加的人數(shù)；（2）從僅參加書法興趣小組和僅參加繪畫興趣小組的學(xué)生中各抽1人，以X表示2人中每周投入時(shí)間大于5小時(shí)的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）根據(jù)公式計(jì)算僅參加書法興趣小組和僅參加繪畫興趣小組的學(xué)生在各投入時(shí)間段人數(shù)的樣本相關(guān)系數(shù)，并推斷它們的相關(guān)程度，其中，分別為僅參加書法興趣小組的學(xué)生在各投入時(shí)間段人數(shù)的均值和標(biāo)準(zhǔn)差，分別為僅參加繪畫興趣小組的學(xué)生在各投入時(shí)間段人數(shù)的均值和標(biāo)準(zhǔn)差．附：相關(guān)系數(shù)r相關(guān)程度低度線性相關(guān)顯著性相關(guān)高度線性相關(guān)16．（15分）如圖，在四棱錐中，底面是梯形，，側(cè)面為正三角形，且與底面垂直，E為的中點(diǎn)，M在上，滿足．（1）當(dāng)時(shí)，證明：平面；（2）當(dāng)二面角為時(shí)，求的值．17．（15分）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在雙曲線M上，且．（1）求雙曲線M的方程；（2）記的平分線所在的直線為直線l，證明：雙曲線M上存在相異兩點(diǎn)關(guān)于直線l對(duì)稱，并求出（E為的中點(diǎn)）的值．18．（17分）已知函數(shù)．（1）求證：；（2）若是的兩個(gè)相異零點(diǎn)，求證：．19．（17分）對(duì)于數(shù)列，定義，滿足，記，稱為由數(shù)列生成的“函數(shù)”．（1）試寫出“函數(shù)”，并求的值；（2）若“函數(shù)”，求n的最大值；（3）記函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，證明：“函數(shù)”．參考答案一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．題號(hào)12345678答案CABCBDDA1．【命題意圖】本題考查集合的基本運(yùn)算．【解題思路】由題意知，且，，則，所以．故選C．2．【命題意圖】本題考查復(fù)數(shù)運(yùn)算及模的概念．【解題思路】由題意知，則，所以．故選A．3．【命題意圖】本題考查平面向量及其應(yīng)用．【解題思路】方法一：如圖1，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為x軸、y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則）．設(shè)，則．因?yàn)?，所以．由題意知，圓O的半徑．因?yàn)辄c(diǎn)P在?。òǘ它c(diǎn)）上，所以，所以的取值范圍是．故選B．圖1圖2方法二：如圖2，連接．易知，設(shè)，則．由已知可得，所以，所以．因?yàn)?，所以，所以，所以，即的取值范圍是，故選B．4．【命題意圖】本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查考生的運(yùn)算求解能力．【解題思路】先將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度得到的圖象，再將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到的圖象．因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，所以，即．又因?yàn)?，所以，所以，所以．故選C．5．【命題意圖】本題考查函數(shù)的基本性質(zhì)．【解題思路】因?yàn)楹瘮?shù)是定義在R上周期為4的奇函數(shù)，且所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以；當(dāng)時(shí)，，所以．函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象向右平移1個(gè)單位長度得到，作出函數(shù)在上的圖象，如圖所示．由圖可知不等式在上的解集為．故選B．6．【命題意圖】本題考查三角恒等變換，考查考生的運(yùn)算求解能力．【解題思路】由，得①．由，得，即，解得，所以②．由①②，得．所以．故選D．7．【命題意圖】本題考查橢圓的離心率、焦點(diǎn)三角形等知識(shí)，考查考生的推理論證能力及轉(zhuǎn)化與化歸思想．【解題思路】由題意可知，直線l過點(diǎn)F，所以，而，所以．由．解得．設(shè)C的右焦點(diǎn)為，在中，由余弦定理可得，解得．由橢圓的定義知，則C的離心率．故選D．8．【命題意圖】本題考查點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，考查考生的運(yùn)算求解能力．【解題思路】如圖，取的中點(diǎn)E，連接．因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn)，所以．因?yàn)樗倪呅问瞧叫兴倪呅危裕驗(yàn)镹為的中點(diǎn)，所以，所以．故四邊形為平行四邊形，所以，所以直線與所成的角為．連接，因?yàn)辄c(diǎn)P在平面內(nèi)的射影為N，所以平面，所以與平面所成的角為，所以．不妨令，則，所以，所以。

在中，由余弦定理得．故選A．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．參考答案題號(hào)91011答案ABCBCCD9．【命題意圖】本題考查基本不等式、斜率的幾何意義及直線與圓的位置關(guān)系等知識(shí)．【解題思路】是以為圓心，1為半徑的圓．對(duì)于A，設(shè)，則直線與圓有公共點(diǎn)，所以，解得，所以，故A正確．對(duì)于B，由知，，故B正確．對(duì)于C，表示圓上一點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)連線的斜率．易知圈上的點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)連線的傾斜角的范圍是，故，即，故C正確．對(duì)于D，取，滿足，但，故D錯(cuò)誤．故選ABC．10．【命題意圖】本題考查拋物線的方程及其性質(zhì)，考查考生的運(yùn)算求解能力．【解題思路】由題意知，焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為直線，令．對(duì)于A，由拋物線的性質(zhì)可知①．若存在弦，使得中點(diǎn)的坐標(biāo)為，則解得或都不滿足①式，故A錯(cuò)誤．對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，解得由對(duì)稱性，不妨取，則，所以，故B正確．對(duì)于C，設(shè)的中點(diǎn)為E，過分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，如圖，則，而，所以，故C正確．對(duì)于D，由題意知直線的方程為．聯(lián)立拋物線方程，消去x得，則，所以．因?yàn)?，所以，所以，故D錯(cuò)誤．故選BC．11．【命題意圖】本題考查函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性、單調(diào)性等知識(shí)，考查考生的運(yùn)算求解能力及推理論證能力．【解題思路】當(dāng)時(shí)，，即．令，則，所以在上單調(diào)遞減．因?yàn)楫?dāng)時(shí)，的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以．所以，所以是偶函數(shù)，故在上單調(diào)遞增．對(duì)于A，由，可知，由以上分折可知，即，所以，故A錯(cuò)誤．對(duì)于B，由以上分析可知，即，所以，故B錯(cuò)誤．對(duì)于C，令，則，所以，即，因?yàn)椋缘膱D象關(guān)于直線對(duì)稱，故C正確．對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，而，故．當(dāng)時(shí)，方程可化為．由，可得，畫出函數(shù)與的大致圖象，如圖所示．由圖象知，方程，即有且僅有2個(gè)實(shí)數(shù)根，故D正確．故選CD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12． 13．256 14．12．【命題意圖】本題考查古典概型．【解題思路】記“甲、乙、丙三人都抽到藍(lán)色球”為事件A，“甲、乙、丙三人至少有一人抽到紅色球”為事件B，則，所以，即至少有一人抽到紅色球的概率為．13．【命題意圖】本題考查等比數(shù)列及數(shù)列的最值問題，考查考生的運(yùn)算求解能力．【解題思路】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由題意，得，即，解得，故，，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，為．14．【命題意圖】本題考查球內(nèi)接三棱錐及球的表面積．【解題思路】因?yàn)槠矫嫫矫妫裕栽谥?，由，可求得．在等腰中，．易知三棱錐是球O內(nèi)接長方體的一部分（如圖），是該長方體的體對(duì)角線，故球心O在的中點(diǎn)處．因?yàn)?，所以球O的半徑為，故球O的表面積為．四、解答題：本題共5小題，共77分．（本題滿分13分）15．【命題意圖】本題考查統(tǒng)計(jì)、概率的知識(shí)，考查考生的運(yùn)算求解能力．（本題滿分13分）【解】（1）樣本中僅參加書法興趣小組的學(xué)生人數(shù)為，樣本中僅參加繪畫興趣小組的學(xué)生人數(shù)為，所以樣本中書法興趣小組和繪畫興趣小組都參加的人數(shù)為，（2分）故全校學(xué)生中書法興趣小組和繪畫興趣小組都參加的人數(shù)約為．（3分）（2）從僅參加書法興趣小組的學(xué)生中抽取1人，每周投入時(shí)間大于5小時(shí)的概率為，從僅參加繪畫興趣小組的學(xué)生中抽取1人，每周投入時(shí)間大于5小時(shí)的概率為．（4分）X的所有可能取值為，則，，．所以X的分布列為X012P（7分）故．（8分）（3）由題意得．所以．即，，即，（10分），所以樣本的相關(guān)系數(shù)．由于．故僅參加書法興趣小組和僅參加繪畫興趣小組的學(xué)生在各投入時(shí)間段人數(shù)呈低度線性相關(guān)．（13分）16．【命題意圖】本題考查立體幾何中的線面位置關(guān)系、空間向量的應(yīng)用、二面角等知識(shí)，考查考生的運(yùn)算求解能力及轉(zhuǎn)化與化歸思想．（本題滿分15分）【解】（1）證明：當(dāng)時(shí)，M為的中點(diǎn)．如圖1，連接，取的中點(diǎn)F，連接．在中，，所以為等邊三角形，所以，又，所以．在中，由正弦定理，得，所以．（3分）因?yàn)椋裕?，所以，所以．?分）因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以．（5分）又平面平面，所以平面．（6分）圖1（2）在中，，所以，即．因?yàn)闉檎切?，E為的中點(diǎn)，所以，又平面平面，平面平面，所以平面，所以，故以E點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖2，則，，所以．設(shè)點(diǎn)，由．得（，，（10分）所以．設(shè)平面的法向量為，則令，則，得，易知平面的一個(gè)法向量為，（12分）所以，即，解得（舍去）或．故當(dāng)面角為時(shí)，．（15分）圖217．【命題意圖】本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線方程及直線與雙曲線的位置關(guān)系等綜合知識(shí)，考查考生的推理論證力、運(yùn)算求解能力及轉(zhuǎn)化與化歸思想．（本題滿分15分）【解】（1）設(shè)，其中．由，得，移項(xiàng)，得，兩邊平方，整理得，解得（負(fù)值舍去），（3分）故，即，則．將代入上式中，整理得，解得（舍去）或．則．（5分）故雙曲線M的方程為（6分）（2）證明：易知直線的方程為，直線的方程為，即．設(shè)點(diǎn)在直線l上，由角平分線的性質(zhì)可得P到的距離等于P到的距離，即，化簡得或．由題意，易知直線l的斜率小于0，所以不滿足題意，所以直線l的方程為．（8分）假設(shè)雙曲線M上存在相異兩點(diǎn)關(guān)于直線l對(duì)稱，則，所以．設(shè)，則．因?yàn)辄c(diǎn)E在直線l上，所以①．因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，所以，兩式相減得，化簡得，即，即②．聯(lián)立①②式，得．所以點(diǎn)E的坐標(biāo)為．（11分）所以直線的方程為，即．與雙曲線方程聯(lián)立，消去y得，因?yàn)椋噪p線M上存在相異兩點(diǎn)關(guān)于直線l對(duì)稱，且．（12分）故．（14分）又，所以（15分）18．【命題意圖】本題考查導(dǎo)數(shù)，考查考生的運(yùn)算求解能力和邏輯推理能力．（本題滿分17分）【證明】（1）令，則．（1分）令，得；令，得．所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（3分）所以，所以．（4分）（2）易知函數(shù)的定義域是．由，可得．（5分）令．得；令，得．所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以．（8分）①當(dāng)，即時(shí)，至多有1個(gè)零點(diǎn)，故不滿足題意．（9分）②當(dāng)，即時(shí)，．因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且．所以，所以在上有且只有1個(gè)零點(diǎn)，不妨記為，且．（11分）由（1）知，所以．因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，，所以在上有且只有1個(gè)零點(diǎn)，記為，且．（13分）所以，所以．同理，若記則有，綜上所述，．（17分）19．【命題意圖】本題考查新定義數(shù)列，考查考生的運(yùn)算求解能力和邏輯推理能力．（本題滿分17分）【解】由定義及．知，所以是公差為m的等差數(shù)列，所以．（1分）因?yàn)?，所以，所以，即．?dāng)時(shí)，有，，……，所以，即．（4分）（1）當(dāng)時(shí)，，所以“函數(shù)””．（6分）當(dāng)時(shí)，．（7分）（2）當(dāng)時(shí)，，故“函數(shù)”．（9分）由，得．令，則，所以在上單調(diào)遞增．因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，故n的最大值為5．（11分）（3）證明：由題意得（14分）由，得，所以，所以，所以．（17分）。