高數(shù)-微積分的歷史背景課件

單擊此處編輯母版標題樣式,*,*,*,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級,第三級,第四級,第五級,第九講 微積分的歷史,（,背景、發(fā)展與意義,）,,馬克思和恩格斯,非常重視微積分的創(chuàng)建，恩格斯曾有這的贊譽：“在一切理論成就中，未必再有什么像十七世紀下半葉微積分的發(fā)明那樣看作人類精神的最高勝利了1,第九講 微積分的歷史（背景、發(fā)展與意義 ） 馬克思,一、微積分名稱的由來,,在變量數(shù)學中，決定性的一步是17世紀后半葉由牛頓和萊布尼茲創(chuàng)始的微分法和積分法微積分的誕生，與其說是全部數(shù)學史上的一個偉大的創(chuàng)舉，不如說是整個人類歷史的一個偉大的創(chuàng)舉牛頓,稱微積分為“,流數(shù)術(shù),”（fluxious）,這個名稱逐漸被淘汰萊布尼茲使用了“,差的計算,”（calculus differentialis）與“,和的計算,” （calculus summatorius）.后來， “差的計算”變成了專門的術(shù)語“,微分學,” （ differential calculus ）,約翰?貝努利主張把“和的計算”改為,,,,2,一、微積分名稱的由來 在變量數(shù)學中，決定性的一步是17,“求整計算” （calculus integralis）,后來成為專門術(shù)語“,積分學,” （ integral calculus ），這就是西方微分學和積分學的來源，兩者結(jié)合起來叫微積分。

在英文中簡稱calculus.,,,3,“求整計算” （calculus integralis）,后,二、微積分建立的時代背景,古代至中世紀的有關(guān)工作,導致微積分創(chuàng)立的幾類基本問題,17世紀前期的工作,牛頓創(chuàng)建微積分的工作背景和大致過程,萊布尼茨創(chuàng)建微積分的工作背景和大致過程,牛頓、萊布尼茨工作的簡單比較,微積分的歷史意義,,,4,二、微積分建立的時代背景古代至中世紀的有關(guān)工作4,古代至中世紀的有關(guān)工作,早在古代數(shù)學中，就產(chǎn)生了,微分和積分,這兩個概念的思想萌芽，形成兩種基本的數(shù)學運算兩者分別地被人們加以研究和發(fā)展積分思想出現(xiàn)在求面積、體積等問題中，在古中國、古希臘、古巴比倫、古埃及的早期數(shù)學文獻中都有涉及這類問題的思想和方法歷史上，積分思想先于微分思想出現(xiàn)，而不象今天的《數(shù)學分析》所講授的那樣，先微分后積分5,古代至中世紀的有關(guān)工作 早在古代數(shù)學中，就產(chǎn)生了微分和,中國魏晉時代的,劉徽,在其《九章算術(shù)注》（公元,263,年）中，對于計算圓面積提出了著名的,“割圓術(shù)”,，他解釋說：“割之彌細，所失彌少割之又割，以至于不可割，則與圓周合體，而無所失矣這些都是原始的積分思想又如，中國清代著名數(shù)學家,李善蘭,獨創(chuàng)的,“尖錐術(shù)”,，已使中國步入了微積分的大門。

但還未形成多大影響時，西方的微積分就傳入了中國如：古希臘的阿基米德（公元前,287,―,212,）用邊數(shù)越來越多的正多邊形去逼近圓的面積，稱為“窮竭法”6,中國魏晉時代的劉徽在其《九章算術(shù)注》（公元263年）,16,世紀以后，歐洲數(shù)學家們?nèi)匝赜冒⒒椎碌姆椒ㄇ竺娣e、體積等問題，并不斷加以改進天文學家兼數(shù)學家,開普勒,的工作是這方面的典型他注意到，酒商用來計算酒桶體積的方法很不精確，他努力探求計算體積的正確方法，寫成,《測量酒桶體積的新科學》,一書，他的方法的精華就是,用無窮多小元素之和來計算曲邊形的面積或體積,微分思想也在古代略見端倪，它是和求曲線的切線問題相聯(lián)系的，這是數(shù)學家們歷來所關(guān)注的另一類問題7,16世紀以后，歐洲數(shù)學家們?nèi)匝赜冒⒒椎碌姆?光學研究中，由于透鏡的設(shè)計需要運用折射定律、反射定律，就涉及切線、法線問題這方面的研究吸引了,笛卡兒、惠更斯、牛頓、萊布尼茲,等人而在運動學研究中，要確定運動物體在某一點的運動方向，就是求曲線上某一點的切線方向，這就需要求作切線8,光學研究中，由于透鏡的設(shè)計需要運用折射定律、反射定律,,意大利科學家伽利略主張自然科學研究必須進行系統(tǒng)的觀察與實驗，充分利用數(shù)學工具去探索大自然的奧秘。

這些觀點對科學,(,特別是物理和數(shù)學,),的發(fā)展有巨大的影響他的學生,卡瓦列里,創(chuàng)立了,“不可分原理”,依靠這個原理他解決了許多現(xiàn)在可以用更嚴格的積分法解決的問題不可分”的思想萌芽于,1620,年，深受開普勒和伽利略的影響，是希臘歐多克索斯的窮竭法到牛頓、萊布尼茨微積分的過渡9,意大利科學家伽利略,導致微積分創(chuàng)立的幾類基本問題,已知物體移動的距離表示為時間的函數(shù)，求物體在任意時刻的速度和加速度；反之，已知物體運動的加速度表為時間的函數(shù)，求速度和距離這一問題不久人們發(fā)現(xiàn)，這一問題是計算一個變量對另一個變量的變化率問題以及它的逆問題的特例求曲線的切線10,導致微積分創(chuàng)立的幾類基本問題已知物體移動的距離表示為時間的函,,求函數(shù)的最大值和最小值如拋射體獲得最大射程時的發(fā)射角，行星離開太陽時的最遠和最近距離等求曲線長；曲線圍成的面積；曲面圍成的體積；物體的重心；一個體積相當大的物體（如行星）作用于另一物體上的引力等11,11,17世紀前期微積分的工作,,費爾馬 (Fermat),是在牛頓和萊布尼茲之前，在微分和積分兩個方面作出貢獻最多的一個數(shù)學家費爾馬《求極大值與極小值的方法》 (寫于1636年以前),在求曲線的切線問題和函數(shù)的極大、極小值問題上做出了重要貢獻。

用現(xiàn)代語言來說，他都是先取增量，而后讓增量趨于0這正是微分學的實質(zhì)之所在費爾馬,還考慮了求拋物體的重心問題他是,,,12,17世紀前期微積分的工作 費爾馬 (Fermat)是在牛,用,求極大,、,極小值的方法,得到，而不是用求和的方法這使他的朋友羅貝瓦爾感到驚奇但是，他居然沒有看到這兩類問題——,微分學問題和積分學問題,——的基本聯(lián)系，與,微積分基本定理,擦肩而過在數(shù)學史上，拉格朗日、拉普拉斯和傅立葉都曾稱“,費爾馬,是真正發(fā)明者但,泊松,正確地指出，,費爾馬,不應(yīng)當享有這一榮譽13,用求極大、極小值的方法得到，而不是用求和的方法這使他的朋友,另一個對微積分作出預(yù)言的是牛頓的老師,巴羅 (I.Barrow,，1630——1677,),，他于1630年生于倫敦，畢業(yè)于劍橋大學，他在物理、數(shù)學、天文和神學方面都有造詣他也是當時研究古希臘數(shù)學的著名學者他翻譯了歐幾里得的《幾何原本》，也是第一個擔任劍橋大學盧卡斯講座教授的人巴羅,的貢獻,1669,年，他辭去了他的教授席位，并推薦牛頓取得此席位1673年他被任命為劍橋三一學院院長，1677年逝世14,另一個對微積分作出預(yù)言的是牛頓的老師巴羅 (I.Ba,巴羅最重要的著作是1699-1670年發(fā)表的,《,光學和,幾何學講義》,，在這本書中我們能夠找到非常接近近代微分過程的步驟。

他把作曲線的切線和曲線的求積聯(lián)系了起來，用現(xiàn)代符號表示就是：,巴羅的確已經(jīng)走到了微積分基本定理的大門口但在巴羅的書中，這兩個定理相隔二十余個別的定理，并且沒有把它們對照起來，也幾乎沒有使用過它們這說明，巴羅并沒有從一般概念意義下理解,,,15,巴羅最重要的著作是1699-1670年發(fā)表的《光學,他們但是我們知道，只有一般概念才能闡明問題的本質(zhì)，才能開拓廣闊的應(yīng)用道路到此為止，微積分這門學科的基礎(chǔ)已經(jīng)具備，但象現(xiàn)在這樣的微積分還沒有正如后來萊布尼,茲確切表達的：“在這樣的科學成就之后，所缺少的知識引出問題的迷宮的一條線即依照代數(shù)樣式的解析計算法在創(chuàng)建微積分的過程中究竟還有多少事情要做呢？,,,16,他們但是我們知道，只有一般概念才能闡明問題的本質(zhì)，才能開拓,1）需要以一般形式建立新計算法的基本概念及其相互聯(lián)系，創(chuàng)立一套一般的符號體系，建立計算的正確程序或算法2）為這門學科重建邏輯上的一致的、嚴格的基礎(chǔ)第1）項由,牛頓和萊布尼,茲,各自獨立完成第2）項由法國偉大的分析學家,A.L柯西,（Cauchy,1789_1857）,及其他19世紀數(shù)學家,完成17,1）需要以一般形式建立新計算法的基本概念及其相互聯(lián)系,,牛頓的微積分,牛頓（Isaac Newton，1642-1727）是歷史上偉大的物理學家和數(shù)學家。

他和萊布尼茨（,Gottfried Leibniz,，,1646-1716,）一起發(fā)明了,微積分,，在,光的色散和光的本質(zhì),方面取得了重要成就，更重要的是他建立了,萬有引力理論,，把天體的運動和地球上的運動統(tǒng)一起來，整個近代力學和天體力學都是在他的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的18,牛頓的微積分牛頓（Isaac Newton，1642-172,,法國數(shù)學家和天文學家,拉普拉斯,（,Pierre Laplace,，,1749-1827,）曾經(jīng)這樣說過：“,不會產(chǎn)生兩個牛頓，因為要發(fā)現(xiàn)的世界只有一個,在牛頓的墓志銘上刻著著名詩人,波普,（Alexander Pope，1688-1744）優(yōu)美的贊美詩句：,自然和她的法則在黑暗中隱藏,//,上帝說，讓牛頓去吧,//,于是一切都已照亮,Nature and Nature’s Laws lay hid in night// God said: let Newton be // and all was,,,,19,法國數(shù)學家和天文學家拉普拉斯（Pierre Lapl,,雖然牛頓取得了這么多重要成就，但是他卻是一個很謙虛的人他曾經(jīng)說過：“,我并不知道人家是怎樣看我的，但是在我自己看來，我就像一個在海灘上玩耍的小孩兒，偶爾撿到一顆光滑而好看的鵝卵石，而真理的大海我并沒有發(fā)現(xiàn)。

他在致胡克（,Robert Hooke,，,1635-1703,）的一封信中也說過這樣一句廣泛流傳的話：“,如果我曾比別人看得更遠一些，那是因為我站在巨人的肩膀上20,雖然牛頓取得了這么多重要成就，但是他卻是一個很謙虛的,牛頓,生平,歷史的發(fā)展有時候充滿了戲劇性1642,年,1,月,8,日，偉大的意大利物理學家伽利略（,Galileo Galilei,，,1564-1642,）逝世就像中國藏族的轉(zhuǎn)世靈童一樣，不到一年，牛頓于,1642,年,12,月,25,日（這是儒略歷的日子，對應(yīng)于現(xiàn)在公歷的,1643,年,1,月,4,日）出生于英國林肯郡（,Lincolnshire,）的伍爾索普,(Woolsthope),鎮(zhèn)牛頓是個遺腹子，在出生前兩個多月，他父親就去世了三歲的時候，他母親改嫁，牛頓就和他祖母一起生活在,11,歲時，牛頓的繼父又去世了，于是他母親就帶著他的一個弟弟和兩個妹妹回到沃斯索普從此以后，他們就在一起生活21,牛頓 生平 歷史的發(fā)展有時候充滿了戲劇性164,,大約5歲的時候，牛頓被送到了鄰近的鄉(xiāng)村小學在那里，牛頓平靜地度過了9年的日子，家里人似乎對于他沒有什么太大的指望。

牛頓有個舅舅叫艾司考，他發(fā)現(xiàn)了牛頓的聰慧，在1656年送他到格蘭珊公學學習可是，到那里不久，母親就把他招回來幫助料理繼父留下的田產(chǎn)經(jīng)過艾司考與格蘭珊公學校長斯托克斯（J. Stokes）極力懇求他母親，牛頓才于1658年重返格蘭珊公學和當時英國的皇家中學一樣，格蘭珊公學也是以教授希臘文與拉丁文文法為主要科目的學校在格蘭珊公學的3年中，牛頓學習十分努力，目的是為了考取當時最好的大學——劍橋大學1661年，牛頓如愿以償?shù)剡M入了劍橋大學的三一學院（Trinity College）22,大約5歲的時候，牛頓被送到了鄰近的鄉(xiāng)村小學剛到劍橋大學的時候，牛頓依靠將食物與飲料遞送外賣這種勤工儉學方式來換取一日三餐后來，牛頓得到了獎學金在著名幾何學家巴羅（Isaac Barrow，1630-1677）教授的指導下，牛頓閱讀了開普勒（Kepler，1570-1630）、笛卡爾（René Descartes，1596-1650）、伽利略等人的科學書籍1665年，牛頓順利地拿到了學士學位（Bachelor of Art）1665,年初，倫敦發(fā)生了嚴重的鼠疫劍橋大學出于慎重考慮而把學生遣返回家這樣，牛頓于,1665,年,6,月到,1666,年,12,月在家鄉(xiāng)伍爾索普呆了一年半的時間。

23,剛到劍橋大學的時候，牛頓依靠將食物與飲料遞送,,在科學史上，這段時期具有非同尋常的重要性，因為牛頓在此期間幾乎完成了他平生所有的重要發(fā)現(xiàn)下面這段話來自牛頓的個人回憶：,,1665年初，我發(fā)現(xiàn)了級數(shù)逼近法和把二項式的任意次冪展開成這一級數(shù)的規(guī)則同年5月，我發(fā)現(xiàn)了格里高利（James Gregory，1638-1675）和司羅斯（Rene-Francois de Slues， 1622-1685）的切線方法11月，得到了直接流數(shù)法次年1月，提出了光的顏色理論5月，我開始學會反流數(shù)方法……,,,24,在科學史上，這段時期具有非同尋常的重要性，因,,1668年，牛頓返回劍橋不久，獲得了碩士學位（Master of Art）之后牛頓成為三一學院的一名成員1669年，牛頓完成了關(guān)于流數(shù)法（微積分）的論文，受到其導師巴羅的極力肯定，但牛頓并沒有把這一成果發(fā)表，這造成了日后他和萊布尼茨關(guān)于微積分發(fā)明權(quán)的長期爭論同年，巴羅決定放棄自己的盧卡斯（Lucas）講座教授席位，專心從事神學研究，并且由于欣賞牛頓的才能，而推薦27歲的牛頓繼任這一職位這在科學史上被傳為一段佳話，劍橋大學三一學院前至今還樹立著這對師徒的雕像。

25,1668年，牛頓返回劍橋不久，獲得了碩士學,怪異的牛頓,牛頓并不善于教學，他在講授新近發(fā)現(xiàn)的微積分時，學生都接受不了但在解決疑難問題方面的能力，他卻遠遠超過了常人還是學生時，牛頓就發(fā)現(xiàn)了一種計算無限量的方法他用這個秘密的方法，算出了雙曲面積到二百五十位數(shù)他曾經(jīng)高價買下了一個棱鏡，并把它作為科學研究的工具，用它試驗了白光分解為的有顏色的光開始，他并不愿意發(fā)表他的觀察所得，他的發(fā)現(xiàn)都只是一種個人的消遣，為的是使自己在寂靜的書齋中解悶，他獨自遨游于自己所創(chuàng)造的超級世界里26,怪異的牛頓 牛頓并不善于教學，他在講授新近發(fā)現(xiàn)的微積分,后來，在好友哈雷的竭力勸說下，才勉強同意出版他的手稿，才有劃時代巨著《自然哲學的數(shù)學原理》的問世作為大學教授，牛頓常常忙得不修邊幅，往往領(lǐng)帶不結(jié)，襪帶不系好，馬褲也不紐扣，就走進了大學餐廳有一次，他在向一位姑娘求婚時思想又開了小差，他腦海了只剩下了無窮量的二項式定理他抓住姑娘的手指，錯誤的把它當成通煙斗的通條，硬往煙斗里塞，痛得姑娘大叫，離他而去牛頓也因此終生未娶27,后來，在好友哈雷的竭力勸說下，才勉強同意出版他的手稿，才有劃,牛頓從容不迫地觀察日常生活中的小事，結(jié)果作出了科學史上一個個重要的發(fā)現(xiàn)。

他馬虎拖沓，曾經(jīng)鬧過許多的笑話一次，他邊讀書，邊煮雞蛋，等他揭開鍋想吃雞蛋時，卻發(fā)現(xiàn)鍋里是一只懷表還有一次，他請朋友吃飯，當飯菜準備好時，牛頓突然想到一個問題，便獨自進了內(nèi)室，朋友等了他好久還是不見他出來，于是朋友就自己動手把那份雞全吃了，雞骨頭留在盤子，不告而別了等牛頓想起，出來后，發(fā)現(xiàn)了盤子里的骨頭，以為自己已經(jīng)吃過了，便轉(zhuǎn)身又進了內(nèi)室，繼續(xù)研究他的問題28,牛頓從容不迫地觀察日常生活中的小事，結(jié)果作出了科學史,,1688-1690年的政治生活擾亂了牛頓隱居生活的理想當時英國大學教授年薪200多英鎊，但是與他所接觸的貴族生活相比，牛頓感到這些報酬還是太少牛頓為此曾向他的朋友、英國財政大臣哈里發(fā)爵士（Lord Halifax）抱怨1695年3月19日，哈里發(fā)推薦牛頓為皇家造幣局局長，得到了皇帝的批準，年薪500多英鎊1699年牛頓升任造幣局總監(jiān)，年薪1200-1500英鎊這使牛頓變得非常富有，要知道，牛頓在劍橋大學當學生的時候，一年的生活費也不過才20多英鎊,牛頓晚年,,,,29,1688-1690年的政治生活擾亂了牛頓隱居生,,隨著科學聲譽的提高，牛頓的政治地位也得到了提升1689,年，他被當選為國會中的大學代表。

作為國會議員，牛頓逐漸開始疏遠給他帶來巨大成就的科學他不時表示出對以他為代表的領(lǐng)域的厭惡同時，他的大量的時間花費在了和同時代的著名科學家如,胡克、萊布尼茲,等進行,科學優(yōu)先權(quán)的爭論,上1683-1684,年，胡克、哈雷（,Edmund Halley,，,1656-1742,）、雷恩（,Christopher Wren,，,1632-1723,）等人先后發(fā)現(xiàn)了引力的平方反比定律，但是都無法證明為此，雷恩愿意以一本價值,40,先令的書饋贈能證明這個定律的人胡克聲稱他已經(jīng)得到了證明，但是不愿公開其結(jié)果；,,,30,隨著科學聲譽的提高，,,1684,年,8,月，哈雷特意到劍橋詢問牛頓，牛頓稱這個問題他早已解決，并答應(yīng)給哈雷一份證明同年,11,月，牛頓如約將他的證明送給哈雷哈雷立即再次趕赴劍橋，勸說牛頓到皇家學會發(fā)表他的結(jié)果1686,年，萬有引力理論的論文在皇家學會發(fā)表，而且皇家學會決定正式出版它在一次皇家學會會議上，胡克聲稱他在幾年前就已經(jīng)證明了牛頓的上述結(jié)果，并且暗示牛頓是從他那里得到這種知識的，牛頓對此非常氣憤31,1684年8月，哈雷特意到劍橋詢問牛頓，牛頓,,哈雷從中進行斡旋，試圖息事寧人。

他勸牛頓：“胡克可能希望你可以在序言中提及他”，但是這遭到了牛頓的拒絕經(jīng)過哈雷的再三勸說，牛頓最后才答應(yīng)寫下這樣一段腳注：“,牛頓、雷恩、胡克、哈雷都從開,普勒的定律得到了引力定律,”可是接下來又出現(xiàn)了麻煩，即皇家學會沒有經(jīng)費出版牛頓的著作最后，還是哈雷用自己的錢在,1687,年出版了,《自然哲學之數(shù)學原理》,1704,年，牛頓的《光學》出版因為在附錄中牛頓詳細論述了他的流數(shù)法，從而引起了和萊布尼茲關(guān)于微積分發(fā)明權(quán)的爭論32,哈雷從中進行斡旋，試圖息事寧人他勸牛頓：“胡克可,晚年的牛頓開始致力于對神學的研究，他否定哲學的指導作用，虔誠地相信上帝，埋頭于寫以神學為題材的著作當他遇到難以解釋的天體運動時，竟提出了“神的第一推動力”的謬論他說“上帝統(tǒng)治萬物，我們是他的仆人而敬畏他、崇拜他”1727,年,3,月,20,日，偉大的艾薩克·牛頓逝世同其他很多杰出的英國人一樣，他被埋葬在了威斯敏斯特教堂他的墓碑上鐫刻著：,,,讓人們歡呼這樣一位多么偉大的,,人曾經(jīng)在世界上存在33,晚年的牛頓開始致力于對神學的研究，他否定哲學的指導作,萊布尼茲－－博學多才的數(shù)學符號大師,萊布尼,茲,（G.W.Leibniz，1646～1716）,是17、18世紀之交德國最重要的數(shù)學家、物理學家 和哲學家，一個舉世罕見的科學天才。

一個千古絕倫的大智者”,（羅素語，《西方哲學史》）,,,34,萊布尼茲－－博學多才的數(shù)學符號大師萊布尼茲（G.W.Leib,生平事跡,,,萊布尼茲1646年出生于德國東部萊比錫的一個書香之家，父親是萊比錫大學的哲學教授，母親出生在一個教授家庭萊布尼茲的父親在他年僅,6,歲時便去世了，給他留下了豐富的藏書萊布尼茲因此得以廣泛接觸古希臘羅馬文化，閱讀了許多著名學者的著作，由此而獲得了堅實的文化功底和明確的學術(shù)目標萊布尼茲,8歲自學拉丁文,，,14歲自學希臘文,，,15,歲,時，他進了萊比錫,大學,學習法律，一進校便跟上了大學二年級標準的人文學科的課程，還廣泛閱讀了,培根、開普勒、伽利略,等人的著作，并對他們的著述進行深入的思考和評價35,生平事跡 萊布尼茲1646年出生于德國東部萊比錫的一,在聽了教授講授歐幾里德的《幾何原本》的課程后，萊布尼茲對數(shù)學產(chǎn)生了濃厚的興趣20,歲時，萊布尼茲轉(zhuǎn)入阿爾特道夫大學這一年，他發(fā)表了第一篇數(shù)學論文《論組合的藝術(shù)》這是一篇關(guān)于數(shù)理邏輯的文章，其基本思想是出于想把理論的真理性論證歸結(jié)于一種計算的結(jié)果這篇論文雖不夠成熟，但卻閃耀著創(chuàng)新的智慧和數(shù)學才華萊布尼茲在阿爾特道夫大學獲得博士學位后便投身外交界。

1672,出使巴黎，在那里結(jié)識了惠更斯及其他許多杰出的學者,不久，,萊布尼茲成了個第一流的外交家36,在聽了教授講授歐幾里德的《幾何原本》的課程后，萊布尼,在剛出訪巴黎時，萊布尼茲對他那個時代的數(shù)學幾乎還一無所知但他在,惠更斯,的指導下開始了真正的數(shù)學教育他深受,帕斯卡,（,那時候笛卡爾、帕斯卡和費爾馬均已過世,）事跡的鼓舞，決心鉆研高等數(shù)學，并研究了笛卡兒、費爾馬、帕斯卡等人的著作他很快發(fā)現(xiàn)自己是一個天生的數(shù)學家1673,年，萊布尼茲訪問倫敦，被推薦為英國皇家學會會員他會見了許多數(shù)學家，學到了不少關(guān)于,無窮級數(shù),的知識，獲得了一本巴羅的《幾何講義》，還知道牛頓的一些工作37,在剛出訪巴黎時，萊布尼茲對他那個時代的數(shù)學幾乎還一無,,在他以后的研究中，主要致力于切線問題以及求積問題并根據(jù)巴羅的“微分三角形”，終于在,1684,年,10,月的《教師學報》上發(fā)表了論文 “,一種求極大極小的奇妙類型的計算,”，這在數(shù)學史上被認為是最早發(fā)表的微積分文獻萊布尼茲在求積問題的研究中第一批成果之一是求出一個單位圓的面積是無窮級數(shù),的四倍，即,,,38,在他以后的研究中，主要致力于切線問題以及求積問題并,這篇僅6頁紙、內(nèi)容并不豐富、說理也頗含混的文章，卻具有劃時代的意義，它已含有現(xiàn)代的微分符號和基本微分法則：,導數(shù)記作,1676年記作,后來在1693年的另一篇論文中,,,39,這篇僅6頁紙、內(nèi)容并不豐富、說理也頗含混的文章，卻具,用,萊布尼茲第一次明確地表達了,求和和微分,之間的關(guān)系，這就是牛頓——萊布尼茲公式。

然而，萊布尼茲并不清楚怎樣從一個粗糙的式子,去求得面積，即怎樣從一組矩形得到曲線下的,面積當然，這個困難不僅困擾了牛頓和萊布尼茲，也困擾了17世紀所有的數(shù)學家，這主要是因為,沒有清楚的極限概念,1686年，萊布尼茲發(fā)表了《深奧的幾何與不可分量及無限的分析》，這是第一篇積分學論文在,,,40,用 萊布尼茲第一次明確地表達了求和和微分之間的關(guān)系，這,這篇論文中，他初步論述了求積（積分）問題與切線（微分）問題的互逆關(guān)系，還引入了積分概念及其符號,萊布尼茲的思想文獻分為兩類：一是1673年開始的手稿、筆記及友人的通信；二是1684年開始發(fā)表的論文在微積分方面的主要成果還有：,1）復(fù)合函數(shù)的微分法則；,2）弧微分法則,3）對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的微分法則；,4）在積分符號下對參變量求微分的方法；,,,41,這篇論文中，他初步論述了求積（積分）問題與切線（微分）問題的,5）曲線繞 軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體體積公式；,6）求切線、求極大極小值以及求拐點的方法等數(shù)學方面的其它成就：,萊布尼茲在數(shù)學方面的成就是巨大的他的研究及成果滲透到高等數(shù)學的許多領(lǐng)域他的一系列重要數(shù)學理論的提出，為后來的數(shù)學理論奠定了基礎(chǔ)。

42,5）曲線繞 軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體體積公式；6）求切線、求極大,萊布尼茲曾討論過負數(shù)和復(fù)數(shù)的性質(zhì)，得出,復(fù)數(shù),的,對數(shù),并不存在，共扼復(fù)數(shù)的和是實數(shù)的結(jié)論在后來的研究中，萊布尼茲證明了自己結(jié)論是正確的他還對線性方程組進行研究，對消元法從理論上進行了探討，并首先引入了行列式的概念，提出行列式的某些理論此外，萊布尼茲還創(chuàng)立了符號邏輯學的基本概念，發(fā)明了能夠進行加、減、乘、除及開方運算的計算機和二進制，為計算機的現(xiàn)代發(fā)展奠定了堅實的基礎(chǔ)43,萊布尼茲曾討論過負數(shù)和復(fù)數(shù)的性質(zhì)，得出復(fù)數(shù)的對數(shù)并不,1676,年，他到漢諾威公爵府擔任法律顧問兼圖書館館長1700,年被選為巴黎科學院院士，促成建立了柏林科學院并任首任院長1716,年,11,月,14,日，萊布尼茲在漢諾威逝世，終年,70,歲44,1676年，他到漢諾威公爵府擔任法律顧問兼圖書,,以前，微分和積分作為兩種數(shù)學運算、兩類數(shù)學問題，是分別的加以研究的只有,萊布尼茲和牛頓,將積分和微分真正溝通起來，明確地找到了兩者內(nèi)在的直接聯(lián)系：微分和積分是互逆的兩種運算而這是微積分建立的關(guān)鍵所在只有確立了這一基本關(guān)系，才能在此基礎(chǔ)上構(gòu)建系統(tǒng)的微積分學并從對各種函數(shù)的微分和求積公式中，總結(jié)出共同的算法程序，使微積分方法普遍化，發(fā)展成用符號表示的微積分運算法則。

因此，微積分“,是牛頓和萊布尼茲大體上完成的，但不是由他們發(fā)明的,”.,,,45,以前，微分和積分作為兩種數(shù)學運算、兩類數(shù)學問,,然而關(guān)于微積分創(chuàng)立的優(yōu)先權(quán)，在數(shù)學史上曾掀起了一場激烈的爭論1704,年，牛頓的《光學》出版因為在附錄中牛頓詳細論述了他的流數(shù)法，從而引起了和萊布尼茲關(guān)于微積分發(fā)明權(quán)的爭論其實微積分是牛頓和萊布尼茲獨立發(fā)現(xiàn)的，所不同的是，牛頓的發(fā)現(xiàn)時間較早，牛頓是,1666,年，而萊布尼茲是,1676,年左右；萊布尼茲的發(fā)表時間較早，萊布尼茲是,1684,年，而牛頓最早是在,1687,年的《自然哲學之數(shù)學原理》公布了他的流數(shù)法46,然而關(guān)于微積分創(chuàng)立的優(yōu),,牛頓在,1687,年出版的《自然哲學的數(shù)學原理》的第一版和第二版也寫道：“十年前在我和最杰出的幾何學家萊布尼茲的通信中，我表明我已經(jīng)知道確定極大值和極小值的方法、作切線的方法以及類似的方法，但我在交換的信件中隱瞞了這方法，……這位最卓越的科學家在回信中寫道，他也發(fā)現(xiàn)了一種同樣的方法他并訴述了他的方法，它與我的方法幾乎沒有什么不同，除了他的措詞和符號而外”,(,但在第三版及以后再版時，這段話被刪掉了,),因此，后來人們公認牛頓和萊布尼茲是各自獨立地創(chuàng)建微積分的。

47,牛頓在1687年出版,,牛頓從物理學出發(fā)，運用集合方法研究微積分，其應(yīng)用上更多地結(jié)合了運動學，造詣高于萊布尼茲萊布尼茲則從幾何問題出發(fā)，運用分析學方法引進微積分概念、得出運算法則，其數(shù)學的嚴密性與系統(tǒng)性是牛頓所不及的萊布尼茲認識到好的數(shù)學符號能節(jié)省思維勞動，運用符號的技巧是數(shù)學成功的關(guān)鍵之一因此，他所創(chuàng)設(shè)的微積分符號遠遠優(yōu)于牛頓的符號，這對微積分的發(fā)展有極大影響1713,年，萊布尼茲發(fā)表了《微積分的歷史和起源》一文，總結(jié)了自己創(chuàng)立微積分學的思路，說明了自己成就的獨立性48,牛頓從物理學出發(fā)，運,,但是這種爭論產(chǎn)生了一個很不好的影響，就是英國數(shù)學家出于民族的自尊心，再加上對牛頓的過分崇拜，而拒絕了歐洲大陸的微積分這種情況一直到19世紀初期才得到改變，而在此之前的一百多年，英倫本島沒有產(chǎn)生一位可以稱得上偉大的數(shù)學家現(xiàn)在的歷史學家認為，,萊布尼茲,的微積分之所以在歐洲大陸得到了普遍接受和巨大發(fā)展，一方面是因為微積分在解決實際問題中顯示出的巨大威力，另一個很重要的方面則在于,萊布尼茲,創(chuàng)立了一整套微積分的數(shù)學符號，這些符號的絕大部分一直到現(xiàn)在人們還在使用我們現(xiàn)在知道，好的數(shù)學符號對于數(shù)學思想的表達和數(shù)學本身的進步是非常重要的。

49,但是這種爭論產(chǎn)生了一個很不好的影響，就是英,,在牛頓和萊布尼茲之間，為爭論誰是這門學科的創(chuàng)立者的時候，竟然引起了一場悍然大波，這種爭吵在各自的學生、支持者和數(shù)學家中持續(xù)了相當長的一段時間，造成了歐洲大陸的數(shù)學家和英國數(shù)學家的長期對立英國數(shù)學在一個時期里閉關(guān)鎖國，囿于民族偏見，過于拘泥在牛頓的“流數(shù)術(shù)”中停步不前，因而數(shù)學發(fā)展整整落后了一百年應(yīng)該說，一門科學的創(chuàng)立決不是某一個人的業(yè)績，它必定是經(jīng)過多少人的努力后，在積累了大量成果的基礎(chǔ)上，最后由某個人或幾個人總結(jié)完成的微積分也是這樣，是牛頓和萊布尼茲在前人的基礎(chǔ)上各自獨立的建立起來的50,在牛頓和萊布尼茲之間，,牛頓和萊布尼茲分別創(chuàng)建的微積分各有特色,首先，牛頓從力學或運動學的角度，從速度的變化問題開始他把連續(xù)變化的量稱為流量，把無限小的時間間隔叫做瞬；而流量的速度，也就是流量在無限小時間內(nèi)的變化率，稱為流數(shù)，用上面帶點的字母,x,，,y,表示牛頓建立了以流量、流數(shù)和瞬為基本概念的微積分學而萊布尼茨從幾何學的角度，從求切線問題開始，突出了切線概念他研究了求曲線的切線問題和求曲線下的面積問題的相互聯(lián)系，由此建立起微積分學51,牛頓和萊布尼茲分別創(chuàng)建的微積分各有特色 首先，牛頓從力,其次，牛頓作為物理學家，其工作方式是經(jīng)驗的、具體的和謹慎的，著力于將微積分成功地應(yīng)用到許多實際問題，以證明微積分方法的價值。

萊布尼茨身兼哲學家，他的工作和思想富于想像和大膽，更著重于把微積分從各種特殊問題中概括和提升出來，尋求普遍化和系統(tǒng)化的運算方法第三，萊布尼茲在運用和創(chuàng)造符號方面，比牛頓更花費心思他用,d,表示差額（,difference,的第一個字母），微分表示為,dx,，,dy,，對,n,階微分運用了符號,dn,；而用∫表示總和,(sum,的第一個字母的拉長,),，即積分符號人們公認，萊布尼茲的微積分符號簡明方便，以致沿用至今52,其次，牛頓作為物理學家，其工作方式是經(jīng)驗的、具體的和,馬克思和恩格斯非常重視微積分的創(chuàng)建，恩格斯曾有這的贊譽：“,在一切理論成就中，未必再有什么像十七世紀下半葉微積分的發(fā)明那樣看作人類精神的最高勝利了53,馬克思和恩格斯非常重視微積分的創(chuàng)建，恩格斯曾有這的贊,微積分的歷史意義,提供了定量處理與運動、變化等有關(guān)的多種現(xiàn)實問題的強有力方法解析幾何與微積分的建立，標志著數(shù)學由初等數(shù)學（常量數(shù)學）時期向變量數(shù)學時期的重要轉(zhuǎn)變以極限方法為主要特征的微積分方法蘊含著十分基本和重要的數(shù)學思想54,微積分的歷史意義提供了定量處理與運動、變化等有關(guān)的多種現(xiàn)實問,微積分的歷史意義,微積分的建立，開辟了全新的、廣闊的數(shù)學領(lǐng)域，其后數(shù)學分析大廈逐步建立。

微積分的建立，使得數(shù)學的基本格局發(fā)生了變化，在這之前，數(shù)學主要有代數(shù)（包括算術(shù)）與幾何兩大領(lǐng)域，而微積分的建立，形成了代數(shù)、幾何與分析三足鼎立的局面55,微積分的歷史意義微積分的建立，開辟了全新的、廣闊的數(shù)學領(lǐng)域，,。