湖南省岳陽市華容縣2023～2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試試題[含答案]

華容縣2023－2024學(xué)年度第二學(xué)期期末監(jiān)測試卷高一數(shù)學(xué)注意事項：1、本試卷分選擇題和非選擇題兩部分，共4頁.時量120分鐘，滿分150分.答題前，考生要將自己的姓名、考號填寫在答題卡上.2、回答選擇題時，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.寫在本試卷和草稿紙上無效.3、回答非選擇題時，用0.5毫米黑色墨水簽字筆將答案按題號寫在答題卡上.寫在本試卷和草稿紙上無效.4、考試結(jié)束時，將答題卡交回.一、單項選擇題(本大題共8小題，每小題5分，滿分40分.每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的.)1. 設(shè)， 則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（ ）A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限 D. 第四象限【答案】C【解析】【分析】首先求，再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義求解.【詳解】，則對應(yīng)的點為，在第三象限.故選：C2. 在中，，則等于（ ）A. B. C D. 【答案】D【解析】【分析】根據(jù)向量的加法和減法公式，即可求解.【詳解】.故選：D3. 中角所對的邊為，若，，則角等于（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析】根據(jù)余弦定理，即可求解.【詳解】根據(jù)余弦定理，且，則角.故選：C4. 在中，是邊上一點.若，則的值為（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用向量的加法的法則，以及其幾何意義，把化為，和已知的條件作對比，求出值．【詳解】解：，，，故選：A．5. 在跳水比賽中，有8名評委分別給出某選手原始分，在評定該選手的成績時，從8個原始分中去掉1個最高分和1個最低分（最高分和最低分不相等），得到6個有效分，這6個有效分與8個原始分相比較，下列說法正確的是（ ）A. 中位數(shù)，平均分，方差均不變 B. 中位數(shù)，平均分，方差均變小C. 中位數(shù)不變，平均分可能不變，方差變小 D. 中位數(shù)，平均分，方差都發(fā)生改變【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合中位數(shù)、平均數(shù)和方差的定義分析判斷.【詳解】不妨設(shè)原始分為，且，則其中位數(shù)為，則有效分為，則其中位數(shù)為，兩者相等，所以中位數(shù)不變，例如：原始分為，則其平均數(shù)為2，則有效分為，則其平均數(shù)為2，兩者相等，所以平均數(shù)可能不變，因為從8個原始分中去掉1個最高分和1個最低分（最高分和最低分不相等），得到6個有效分，即把波動最大的兩個值去掉，則有效分比原始分更集中，波動性減小，根據(jù)方差的定義可知：有效分的方差小于原始分的方差，即方差變小.故選：C.6. 正方形邊長等于2，用斜二測畫法畫出水平放置的正方形的直觀圖，則直觀圖的面積為（ ）A. 4 B. C. 2 D. 【答案】D【解析】【分析】根據(jù)斜二測畫法及平行四邊形面積公式可得答案.【詳解】由斜二測畫法知直觀圖的面積，故選：D.7. 先后拋擲質(zhì)地均勻的硬幣三次，則至少二次正面朝上的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先列出先后拋擲質(zhì)地均勻的硬幣三次得到的結(jié)果,再列出“至少二次正面朝上”的情況,進(jìn)而求解即可.【詳解】由題,則先后拋擲質(zhì)地均勻的硬幣三次得到的結(jié)果為:（正,正,正）,（正,正,反）,（正,反,正）,（反,正,正）,（正,反,反）,（反,正,反）,（反,反,正）,（反,反,反）,共8種情況,其中“至少二次正面朝上”的有:（正,正,正）,（正,正,反）,（正,反,正）,（反,正,正）,共4種情況,故,故選:C【點睛】本題考查列舉法求古典概型的概率,屬于基礎(chǔ)題.8. 在一個封閉的直三棱柱內(nèi)有一個體積為V的球，若，，，，則球的體積的最大值為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】設(shè)的內(nèi)切圓的半徑為，由等面積法得，解得．由于，所以球的最大半徑為，由此能求出結(jié)果．【詳解】由題知，球的體積要盡可能大時，球需與三棱柱內(nèi)切．所以球在底面內(nèi)的投影的圓面最大不能超出的內(nèi)切圓.設(shè)圓與內(nèi)切，設(shè)圓的半徑為.由，，，則 由等面積法得，得.由于三棱柱高，若球的半徑，此時能保證球在三棱柱內(nèi)部，所以直三棱柱的內(nèi)切球半徑的最大值為.所以球的體積的最大值為：.故選：B 二、多項選擇題(本大題共3小題，每小題6分，共18分.每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分)9. 下列各組向量中，不能作為基底的是（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】ACD【解析】【分析】分別判斷四個選項中的兩個向量是否共線得到答案.【詳解】對于A，，，由零向量與任意向量共線，可知兩個向量不能作為基底；對于B，因為，，所以，所以兩個向量不共線，可以作為基底；對于C，因為，，所以，可知兩個向量共線，故不可以作為基底；對于D，由，，得：，可知兩個向量共線，故不能作為基底；故選：ACD10. 平均數(shù)和中位數(shù)都描述了數(shù)據(jù)的集中趨勢，它們的大小關(guān)系和數(shù)據(jù)分布的形態(tài)有關(guān).在如圖的三種分布形態(tài)中，平均數(shù)和中位數(shù)的大小關(guān)系中正確的有（ ）A. 丙圖中平均數(shù)大于中位數(shù)B. 乙圖中平均數(shù)大于中位數(shù)C. 甲圖中平均數(shù)和中位數(shù)應(yīng)該大體上差不多D. 乙圖中平均數(shù)小于中位數(shù)【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)直方圖中矩形的高度和數(shù)據(jù)的分布趨勢，逐一判斷即可求解.【詳解】對于甲圖，頻率分布直方圖的形狀是對稱的，那么平均數(shù)和中位數(shù)大體上差不多，因此C正確；對于乙圖，頻率分布直方圖右側(cè)拖尾，那么平均數(shù)大于中位數(shù)，因此B正確，D錯誤；對于丙圖，頻率分布直方圖左側(cè)拖尾，那么平均數(shù)小于中位數(shù)，因此A錯誤.故選：BC.11. 長方體，，則下列說法中正確的是（ ）A. 長方體外接球的表面積等于B. 是線段上的一動點，則的最小值等于3C. 點到平面的距離等于D. 二面角的正切值等于2【答案】ABD【解析】【分析】由長方體的體對角線求出直徑，由球的表面積公式求解即可判斷選項A；把矩形和放置在同一平面內(nèi)，當(dāng)點，，三點共線時，最小，求解即可判斷選項B；以點為原點，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求點到面的距離，判斷C；作，交于點，則為二面角的平面角，求解即可判D.【詳解】對于A，長方體外接球的直徑，故外接球的表面積為，故選項A正確；對于D，把矩形和放置在同一平面內(nèi)，如圖所示，其中，，，則，連接交于點，當(dāng)點，，三點共線時，最小，則，故，所以，由余弦定理可得，，所以，即的最小值為，故B正確；以點為原點，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則所以設(shè)平面的一個法向量為，則，則，令，則，所以，所以點到平面的距離為，故C錯誤；作，交于點，由于，平面，平面，所以，則為二面角的平面角，在中，，所以，在中，，D正確.故選：ABD三、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分).12. 若復(fù)數(shù)滿足，則______.【答案】5【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義直接求解即可.【詳解】由，得.故答案為：513. 已知圓錐的底面半徑為3，體積是，則圓錐側(cè)面積等于___________.【答案】【解析】【詳解】試題分析：求圓錐側(cè)面積必須先求圓錐母線，既然已知體積，那么可先求出圓錐的高，再利用圓錐的性質(zhì)(圓錐的高，底面半徑，母線組成直角三角形)可得母線，，，，．考點：圓錐的體積與面積公式，圓錐的性質(zhì)．14. 在中，的平分線交于點，，，則周長的最小值為________.【答案】【解析】【分析】首先利用角平分線的性質(zhì)，結(jié)合三角形的面積公式，得，再根據(jù)基本不等式求的最小值，并結(jié)合余弦定理求的最小值，即可求解.【詳解】根據(jù)三角形面積可知，，得，即，由基本不等式，得，即，當(dāng)時等號成立，，由，即，所以，即，綜上可知，.所以周長的最小值為.故答案為：【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是利用面積公式，得到，為后面使用基本不等式和余弦定理解題奠定基礎(chǔ).四、解答題(本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)15. 已知向量，，.（1）若，求t的值；（2）若與的夾角為鈍角，求t的取值范圍.【答案】（1）2 （2）且【解析】【分析】（1）根據(jù)向量垂直，數(shù)量積的坐標(biāo)表示，即可求解；（2）利用數(shù)量積的定義，轉(zhuǎn)化為且不平行，即可求參數(shù)取值范圍.【小問1詳解】由，可得，所以得，；【小問2詳解】因為的夾角為鈍角，所以，可得，又當(dāng)共線時，可得，此時反向，的取值范圍為且.16. 某校為了增強(qiáng)學(xué)生的安全意識，為學(xué)生進(jìn)行了安全知識講座，講座后從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了名學(xué)生進(jìn)行筆試試卷滿分分，并記錄下他們的成績，將數(shù)據(jù)分成組：，，，，，并整理得到如下頻率分布直方圖.（1）求這部分學(xué)生成績的眾數(shù)與平均數(shù)同組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表；（2）估計這組數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)；（3）為了更好的了解學(xué)生對安全知識的掌握情況，學(xué)校決定在成績高的第、組中用分層抽樣的方法抽取名學(xué)生，進(jìn)行第二輪比賽，最終從這名學(xué)生中隨機(jī)抽取人參加市安全知識競賽，求分包括分以上的同學(xué)恰有人被抽到的概率.【答案】（1）75，73.5 （2）82.5 （3）【解析】【分析】（1）根據(jù)眾數(shù)和平均數(shù)公式，即可求解；（2）上四分位數(shù)為頻率和為對應(yīng)的數(shù)據(jù)，根據(jù)頻率分布直方圖，結(jié)合頻率，即可求解；（3）首先確定兩組抽取的人數(shù)，再利用編號，列舉的方法，利用古典概型概率公式，即可求解.【小問1詳解】眾數(shù)為最高的小矩形的組中值：，平均數(shù)為：；【小問2詳解】根據(jù)這組數(shù)據(jù)計算，可得，，，即這組數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)為82.5.【小問3詳解】根據(jù)等比例分層抽樣的方法抽取的名學(xué)生，，有人，有人，設(shè)四人編號為，，，，兩人編號為，.則所有抽取結(jié)果123，124，12a，12b，134，13a，13b，14a，14b，1ab，234，23a，23b，24a，24b，2ab，34a，34b，3ab，4ab，共個結(jié)果，其中“分包括分以上的同學(xué)恰有人”所包含結(jié)果共種結(jié)果，所以“分包括分以上的同學(xué)恰有人”的概率為，即等于.17. 甲、乙、丙三人組成一個小組代表學(xué)校參加一個“詩詞大會”闖關(guān)活動團(tuán)體賽.三人各自獨立闖關(guān)，在第一輪比賽中甲闖關(guān)成功的概率為，甲、乙都闖關(guān)成功的概率為，甲、丙都闖關(guān)成功的概率為，每人闖關(guān)成功記分，三人得分之和記為小組團(tuán)體總分.（1）求乙、丙各自闖關(guān)成功的概率；（2）求在第一輪比賽中團(tuán)體總分為分的概率；（3）若團(tuán)體總分不小于分，則小組可參加下一輪比賽，求該小組參加下一輪比賽的概率.【答案】（1） （2） （3）【解析】【分析】（1）設(shè)乙闖關(guān)成功的概率為，丙闖關(guān)成功的概率為，其中甲闖關(guān)成功的概率為，甲、乙都闖關(guān)成功的概率為，甲、丙都闖關(guān)成功的概率為，根據(jù)獨立事件同時發(fā)時的概率公式列出方程組即可．（2）團(tuán)體總分為4分，即甲、乙、丙三人中恰有2人過關(guān)，而另外一人沒過關(guān)，根據(jù)獨立事件發(fā)時的概率公式寫出概率，把所有的概率值相加即可；（3）團(tuán)體總分不小于4分，即團(tuán)體總分為4分或6分，由（2）可知總分是4分的概率，只要再求出總分是6分的概率即可，團(tuán)體總分為6分，即3人都闖關(guān)成功，列式即可．【小問1詳解】三人各自獨立闖關(guān)，其中甲闖關(guān)成功的概率為，甲、乙都闖關(guān)成功的概率為，甲、丙都闖關(guān)成功的概率為，設(shè)乙闖關(guān)成功的概率為，丙闖關(guān)成功的概率為，根據(jù)獨立事件同時發(fā)時的概率公式得，解得，即乙闖關(guān)成功的概率為，丙闖關(guān)成功的概率為.【小問2詳解】團(tuán)體總分為4分，即甲、乙、丙三人中恰有2人過關(guān)，而另外一人沒過關(guān)，設(shè)“團(tuán)體總分為4分”為事件，則，即團(tuán)體總分為4分的概率；【小問3詳解】團(tuán)體總分不小于4分，即團(tuán)體總分為4分或6分，設(shè)“團(tuán)體總分不小于4分”為事件，由（2）可知團(tuán)體總分為4分的概率，團(tuán)體總分為6分，即3人闖關(guān)都成功的概率為，所以參加下一輪比賽的概率為，即該小組參加下一輪比賽的概率為.18. 如圖，四棱錐，平面ABCD，∥，，，.點E為PD的中點.（1）求證：∥平面PAB；（2）求證：平面PAC；（3）求三棱錐的體積.【答案】（1）證明見解析 （2）證明見解析 （3）【解析】【分析】（1）作輔助線，可得，結(jié)合線面平行的判定定理分析證明；（2）根據(jù)題意可得，，結(jié)合線面垂直的判定定理分析證明；（3）分析可知三棱錐的體積等于三棱錐體積的，結(jié)合錐體的體積公式分析求解.【小問1詳解】如圖，設(shè)點F為棱PA的中點，連接EF，BF，則為的中位線，可得且，由題意可知：且，則且，可知四邊形為平行四邊形，則，且平面PAB ，平面PAB，所以平面.【小問2詳解】由題意可得：，則，可知，又因為平面，平面，則，且，平面，所以平面.【小問3詳解】因為E是PD的中點，則三棱錐的體積等于三棱錐體積的，所以.19. “費馬點”是由十七世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家費馬提出并征解的一個問題.該問題是：“在一個三角形內(nèi)求作一點，使其與此三角形的三個頂點的距離之和最小.”意大利數(shù)學(xué)家托里拆利給出了解答，當(dāng)?shù)娜齻€內(nèi)角均小于時，使得的點O即為費馬點；當(dāng)有一個內(nèi)角大于或等于時，最大內(nèi)角的頂點為費馬點.試用以上知識解決下面問題：已知，，分別是三個內(nèi)角，，的對邊，點在上，且，.（1）若.①求；②設(shè)點為的費馬點，當(dāng)面積最大時，求的值；（2）設(shè)點為費馬點，若，，求實數(shù)t的最小值.【答案】（1）①；② （2）【解析】【分析】（1）①由正弦定理，角化邊，化簡后結(jié)合余弦定理，即可求解；②首先根據(jù)點的位置確定向量關(guān)系，再根據(jù)向量數(shù)量積，轉(zhuǎn)化為三角形邊長的關(guān)系，再結(jié)合基本不等式確定的最大值，由費馬點，結(jié)合三角形面積公式確定最后代入數(shù)量積公式，即可求解;（2）首先由三角恒等變換可知，，再設(shè)，，，，得到，根據(jù)費馬定理，結(jié)合三個余弦定理表示，和,由勾股定理確定等量關(guān)系，再結(jié)合基本不等式，即可求解.【小問1詳解】①因為由正弦定理可得，化簡得，因為.又，所以.②因為，可得，所以，所以，又，所以，可得，由，所以，當(dāng)時，面積最大.由，三角形內(nèi)角和性質(zhì)可知，的三個內(nèi)角均小于，結(jié)合題設(shè)易知點一定在的內(nèi)部.所以，所以，又因為.【小問2詳解】由已知中，即，故，由正弦定理可得，故直角三角形，即，點為的費馬點，則，設(shè)，，，，則由得；由余弦定理得，，，故由得，即，而，故，當(dāng)且僅當(dāng)，結(jié)合，解得時，等號成立，又，即有，解得或（舍去），故實數(shù)最小值為.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是對費馬點的理解，尤其是當(dāng)?shù)娜齻€內(nèi)角均小于時，使得，這個條件中角度的運用.。