華南農(nóng)大高數(shù)第5章多元函數(shù)微積分
單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,,單擊此處編輯母版文本樣式,,第二級(jí),,第三級(jí),,第四級(jí),,第五級(jí),,,*,單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,,單擊此處編輯母版文本樣式,,第二級(jí),,第三級(jí),,第四級(jí),,第五級(jí),,,*,多元函數(shù)的極值,二重積分的概念,,多元函數(shù)的極值的概念,定義 設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,0,,y,0,)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，對(duì),,于該鄰域內(nèi)異于(x,0,,y,0,)的點(diǎn)(x,y)，如果都適合,f(x,y)
2）當(dāng),AC-B,2,< 0,時(shí)，函數(shù),取不到極值,3）當(dāng)AC-B,2,= 0 時(shí)，函數(shù)可能,取到,也可能,取不到,極值例1,求函數(shù),的極值解：,解方程組,得駐點(diǎn)：,求出二階偏導(dǎo)：,在點(diǎn) 處，,又,所以,是極小值在點(diǎn) 處，,所以函數(shù)在該點(diǎn)沒在極值在點(diǎn) 處，,所以函數(shù)在該點(diǎn)沒在極值在點(diǎn) 處，,又,所以,是極大值最大最小值問題,若函數(shù)在某區(qū)域 D 上有最值，那么最值一定是在,,極值點(diǎn)或邊界上取得在實(shí)際應(yīng)用中，若根據(jù)問題的性質(zhì)可知函數(shù)在區(qū)域,,D 內(nèi)部取到最值，而函數(shù)在 D 內(nèi)又只有,唯一的駐點(diǎn),，則,,可判定函數(shù)在該駐點(diǎn)即取得最值例2,要做一個(gè)容積等于 K 的長(zhǎng)方體無蓋水池，應(yīng)如何選擇,,水池的尺寸，方可使它的表面積最??？,解,設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高分別為x,y,z,解方程組：,得：,從而,由問題的實(shí)際意義知，這時(shí)表面積獲得最小值：,則 xyz=K,,以上問題可以看成是表面積,在條件,下的極值（最值）問題——條件極值求,條件極值,的,拉格朗日乘數(shù)法：,例如：求函數(shù),滿足條件 的極值。
作函數(shù)：,其中 是常數(shù)，稱為,拉格朗日乘數(shù),拉格朗日函數(shù)）,解方程組：,所得點(diǎn),是,可能的極值點(diǎn)例2,要做一個(gè)容積等于 K 的長(zhǎng)方體無蓋水池，應(yīng)如何選擇,,水池的尺寸，方可使它的表面積最小？,解,表面積,得：,由問題的實(shí)際意義知，這時(shí)表面積獲得最小值：,約束條件：,令：,解方程組：,,例3,從斜邊長(zhǎng)為 4 的所有直角三角形中求面積最大者4,解,：三角形面積,約束條件：,令,解方程組,得,由問題的實(shí)際意義知，這時(shí)三角形的面積獲最大值：,,例3,從斜邊長(zhǎng)為 4 的所有直角三角形中求面積最大者4,解,：三角形面積,約束條件：,可將約束條件代入把問題化為求,,一元函數(shù)無條件極值的問題令,得：,條件極值可轉(zhuǎn)化成無條件極值,,二重積分的引入,——,曲頂柱體的體積（演示）,.,求曲頂柱體的體積,記,用平頂柱體體積,,作近似替換,（1）細(xì)分,,（2）近似替換,,（3）作和,,（4）取極限,,設(shè)平面薄片的面密度是：,求平面薄片的質(zhì)量,D,記,二重積分的引入,——,平面薄片的質(zhì)量,,二重積分的概念,設(shè)函數(shù) 是有界閉區(qū)域 D 上的有界函數(shù)將閉區(qū)域 D,任意分成,個(gè)小閉區(qū)域,其中 表示第 個(gè)小閉區(qū)域，同時(shí)也表示它的面積。
在每個(gè)小閉區(qū)域,上任取一點(diǎn),令,若無論 D 如何劃分和 如何選取，,都存在，則稱此極限為函數(shù) 在 D 上的二重積分，,記作：,,由于二重積分值與分割無關(guān)，故在直角坐,,標(biāo)系下，通常用平行于坐標(biāo)軸的直線網(wǎng)分,,割區(qū)域D，從而有,即,二重積分的概念,所以在直角坐標(biāo)系下，二重積分常表示為,引例中的曲頂柱體體積可用二重積分表示為,平面薄片的質(zhì)量為,,二重積分的性質(zhì),是常數(shù)D 的面積）,二重積分可計(jì)算平面圖形的面積,其中： 、 是 的一個(gè)完全分割二重積分的性質(zhì),使,積分中值定理（定性研究）,二重積分的估值,二重積分的比較,,o,y,x,z,a,b,二重積分的計(jì)算,——,化二重積分為二次積分,預(yù)備知識(shí)：平行截面面積以知的立體體積的計(jì)算（演示）,A(x),x,如右圖所示立體：介于平面x=a與x=b之間,在區(qū)間[a,b]內(nèi)任取一點(diǎn)x，過該點(diǎn),,作x軸的垂直平面，若該平面的面,,積為A(x)，則由定積分的元素法可,,知立體體積為,,如果積分區(qū)域D可表示為：,a,b,y=y,2,(x),y=y,1,(x),o,x,y,Х-,型區(qū)域,用平行于yoz面的平面去截立體，,,則截面面積為：,于是，立體體積為,直角坐標(biāo)系下化二重積分為二次積分,,如果積分區(qū)域D可表示為：,у-,型區(qū)域,用平行于xoz面的平面去截立體，,,則截面面積為：,于是，立體體積為,直角坐標(biāo)系下化二重積分為二次積分,o,x,c,d,y,x=,φ,2,(y),x=,φ,1,(y),,直角坐標(biāo)系下交換二次積分的積分次序,如果積分區(qū)域D既可表示為,Х-型區(qū)域,：,又可表示為,у-型區(qū)域,：,則有如下交換積分次序公式：,у-,型區(qū)域,Х-,型區(qū)域,,例4,化下列二重積分為二次積分（兩種次序）,由,圍成。
或記為,故,或記為,解,D可表示為：,D又可表示為：,o,4,4,x,y=x,y,2,=4x,y,x,y,,例4,化下列二重積分為二次積分（兩種次序）,或,或記為,或記為,o,x,y,-r,r,x,2,+y,2,=r,2,,例4,化下列二重積分為二次積分（兩種次序）,由,圍成或,或記為,或記為,,補(bǔ)充題,1、求由方程x,2,+y,2,+z2-2x+2y-4z-10=0確定的函數(shù)z=f(x,y)的極值2、求二元函數(shù)f(x,y)=x,2,y(4-x-y)在直線x+y=6，x軸和 y軸所圍成,,的閉區(qū)域D上的最大值和最小值3、求 的最大值和最小值4、將證數(shù)12分成三個(gè)正數(shù)x,y,z之和，使得u=x,3,y,2,z為最大5、改變積分 的次序再見！,,返回,,返回,,,。
