廣東省2024屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期三模試題

2024屆高三綜合測試數(shù)學(xué)一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1. 若，其中為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限2. 已知，則“”是“角為第一或第四象限角”的（ ）A. 既不充分又不必要條件 B. 充分不必要條件C. 必要不充分條件 D. 充要條件3. 一組樣本數(shù)據(jù)刪除一個(gè)數(shù)后，得到一組新數(shù)據(jù)：10，21，25，35，36，40.若這兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等，則刪除的數(shù)為（ ）A. 25 B. 30 C. 35 D. 404. 等邊的邊長為3，若，，則（ ）A. B. C. D. 5. 某制藥企業(yè)為了響應(yīng)并落實(shí)國家污水減排政策，加裝了污水過濾排放設(shè)備，在過濾過程中，污染物含量M（單位：mg/L）與時(shí)間t（單位：h）之間的關(guān)系為：（其中，k是正常數(shù)）.已知經(jīng)過1h，設(shè)備可以過濾掉20%的污染物，則過濾一半的污染物需要的時(shí)間最接近（ ）（參考數(shù)據(jù)：）A. 3h B. 4h C. 5h D. 6h6. 將一副三角板拼接成平面四邊形ABCD（如圖），，將其沿BD折起，使得面面BCD，若三棱錐的頂點(diǎn)都在球O的球面上，則球O的表面積為（ ）A. B. C. D. 7. 函數(shù)和函數(shù)的圖象相交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的面積為（ ）A. B. C. D. 8. 為樣本空間，隨機(jī)事件A、B滿足，，則有（ ）A. B. C. D. 二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9. 設(shè)a，b為兩條不同的直線，，為兩個(gè)不同的平面，則下列結(jié)論不正確的是（ ）A. 若，，則 B. 若，，，則C. 若，，，則 D. 若，，則10. 已知函數(shù)的零點(diǎn)為，的零點(diǎn)為，則（ ）A. B. C. D. 11. 已知定圓M：，點(diǎn)A是圓M所在平面內(nèi)一定點(diǎn)，點(diǎn)P是圓M上的動(dòng)點(diǎn)，若線段PA的中垂線交直線PM于點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q的軌跡可能為（ ）A. 圓 B. 橢圓 C. 雙曲線 D. 拋物線三、填空題：本題共3個(gè)小題，每小題5分，共15分.12. 如圖，一系列由正三角形構(gòu)成的圖案稱為謝爾賓斯基三角形，圖1三角形邊長為2，則第n個(gè)圖中陰影部分的面積為______.13. 已知的展開式中各項(xiàng)系數(shù)和為243，則展開式中常數(shù)項(xiàng)為______.14. 設(shè)實(shí)數(shù)x、y、z、t滿足不等式，則的最小值為______.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.（13分）已知函數(shù).（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）若在區(qū)間上單調(diào)遞減，，求的值.16.（15分）如圖，邊長為4的兩個(gè)正三角形ABC，BCD所在平面互相垂直，E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點(diǎn)，點(diǎn)G在棱AD上，，直線AB與平面EFG相交于點(diǎn)H.（1）證明：；（2）求直線BD與平面EFG的距離.17.（15分）最新研發(fā)的某產(chǎn)品每次試驗(yàn)結(jié)果為成功或不成功，且試驗(yàn)成功的概率為.現(xiàn)對該產(chǎn)品進(jìn)行獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，若試驗(yàn)成功，試驗(yàn)結(jié)束；若試驗(yàn)不成功，則繼續(xù)試驗(yàn)，且最多試驗(yàn)10次.記X為試驗(yàn)結(jié)束時(shí)所進(jìn)行的試驗(yàn)次數(shù)，且每次試驗(yàn)的成本為元.（1）①寫出X的分布列；②證明：；（2）某公司有意向投資該產(chǎn)品.若，且試驗(yàn)成功則獲利5a元，則該公司如何決策投資，并說明理由.18.（17分）已知函數(shù).（1）若在單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）證明：對任意整數(shù)a，至多有1個(gè)零點(diǎn).19.（17分）已知拋物線：，過點(diǎn)的直線l交C于P，Q兩點(diǎn)，當(dāng)PQ與x軸平行時(shí)，的面積為16，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn).（1）求的方程；（2）已知點(diǎn)，，（）為拋物線上任意三點(diǎn)，記面積為，分別在點(diǎn)A、B、C處作拋物線的切線、、，與的交點(diǎn)為D，與的交點(diǎn)為E，與的交點(diǎn)為F，記面積為，是否存在實(shí)數(shù)，使得？若存在，求出的值，若不存在，請說明理由.華南師范大學(xué)附屬中學(xué)2024屆高三綜合測試數(shù)學(xué)參考答案一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1. A 2. C 3. B 4. D 5. A 6. C 7. D 8. B二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9. ABC 10. BC 11. ABC三、填空題：本題共3個(gè)小題，每小題5分，共15分.12. 13. 80 14. 四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15. 解：因?yàn)椤?分（每用對一個(gè)公式給1分）……3分……4分（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，……5分所以；……6分（Ⅱ）若在區(qū)間上單調(diào)遞減，則，……8分所以，……9分因?yàn)?，所以，…?0分因?yàn)?，所以，，…?1分所以，，……12分故.經(jīng)檢驗(yàn)，滿足題意……13分16.（1）證明：因?yàn)镋，F(xiàn)分別為BC，CD的中點(diǎn)，所以，……1分又平面EFGH，……2分平面EFGH，……3分所以平面EFGH，……4分因?yàn)槠矫鍭BD，平面平面，……5分所以.……6分（2）解：由（1）知，平面EFGH，知點(diǎn)B到平面EFG的距離即為直線BD與平面EFG的距離，……7分連接EA，ED，因?yàn)榕c均為正三角形，且E是BC的中點(diǎn)，所以，，……8分又平面平面BCD，平面平面，，平面ABC，所以平面BCD，……9分因?yàn)槠矫鍮CD，所以，故以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，EB，ED，EA所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，……10分所以，，，……11分設(shè)平面EFG的法向量為，則，……12分令，則，，所以，……13分所以點(diǎn)B到平面EFG的距離為，……14分故直線BD與平面EFG的距離為.……15分17. 解：（1）①由題意可得，，故，，，故X的分布列如下：X12345PpX678910P……6分（第一問共6分，分布列表格1分，即求解了所有概率，但是沒有畫表格，則扣1分，分布列表格內(nèi)有錯(cuò)誤這一分也扣掉；寫對隨機(jī)變量可能的取值給1分；寫錯(cuò)概率扣1分，其余的概率值每寫對兩個(gè)給1分）②證明：，……7分記，……8分，……9分兩式作差可得，，……10分故……12分，即得證.……13分（2）當(dāng)時(shí)，由（1）可知，，……14分故試驗(yàn)成本的期望小于4a，又獲利5a大于成本的期望，則應(yīng)該投資.……15分18.【解答】解法一：（1）……1分【當(dāng)時(shí)，顯然成立，……無持續(xù)求解，只寫這個(gè)結(jié)論給1分，到這一步共2分】在單調(diào)遞減對，恒有，恒有，……2分令，……3分則，……4分令，解得（或，或）……5分則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，……6分又，所以當(dāng)時(shí)，，所以……7分（2）令，則，所以單調(diào)遞減，……8分又因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，……9分令，則與零點(diǎn)一致……10分當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞減，，……11分當(dāng)時(shí)，有，……12分令，因?yàn)椋谶f增，……13分所以，……14分故，……15分綜上，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，有唯一的零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，恒大于0，不存在零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，不存在零點(diǎn)；……16分即對任意整數(shù)a，至多有1個(gè)零點(diǎn)，所以至多有1個(gè)零點(diǎn)……17分解法二：（1）同解法一（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞減，所以至多有1個(gè)零點(diǎn)……8分令，則，所以單調(diào)遞減，又因?yàn)?，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，……9分當(dāng)時(shí)，……10分令，當(dāng)時(shí)，……11分當(dāng)時(shí)，，……12分所以在單調(diào)遞減，此時(shí)，……13分所以在單調(diào)遞增，……14分所以；……15分所以，當(dāng)時(shí)，，所以，故此時(shí)無零點(diǎn)；……16分綜上所述，對任意的整數(shù)a，函數(shù)至多1個(gè)零點(diǎn)……17分19. 解：（1）當(dāng)PQ與x軸平行時(shí)，，因?yàn)镻，Q兩點(diǎn)均在拋物線C上，所以，即，……1分因?yàn)榈拿娣e為16，所以，……2分解得，……3分則的方程為；……4分（2）直線AC的斜率為：，則：，……5分直線與的交點(diǎn)為T，則點(diǎn)T為，……6分所以……7分……（?）……（??）……8分所以：……9分點(diǎn)A處切線方程：，令，則的斜率，……10分則有：，即：，……11分同理：：，：，……12分與相交得：，得：；……13分同理可得：，；……14分將點(diǎn)，，代入（??）得……15分……16分所以，所以存在，使得……17分注：（1）若直接用已知三點(diǎn)求三角形面積公式：……8分點(diǎn)處，則5~8的步驟分沒有，用這個(gè)公式代入計(jì)算，有適當(dāng)?shù)幕嗊^程，依照后面的步驟給分；（2）若直接用已知三點(diǎn)求三角形面積公式的行列式形式：的絕對值.則不給推導(dǎo)公式的步驟分，若有展示將行列式展開，并代入相關(guān)點(diǎn)計(jì)算，則按照后續(xù)步驟給分；（2）若直接用已知三點(diǎn)求三角形面積公式，強(qiáng)行得到兩個(gè)三角形面積關(guān)系，不管是否得到正確結(jié)果，均不給分.。