小學(xué)教育概統(tǒng)課件

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方差本質(zhì)是隨機(jī)變量函數(shù)的期望,),度量隨機(jī)變量,及,均值的偏離程度,22,方差的計(jì)算式,(,實(shí)數(shù),),23,例,4.11,例,4.12,24,4.2.2,方差的性質(zhì),(,常數(shù)的方差等于,0),（,1,）,（,2,）,a,b,為常數(shù)，,（,3,）若,X,及,Y,獨(dú)立，,25,例,4.13,例,4.14,隨機(jī)變量,且,X,，,Y,，,Z,相互獨(dú)立，,26,(4),設(shè)隨機(jī)變量,X,i,(i=1,2,n),相互獨(dú)立，,c,i,(i=1,2,n),是,n,個(gè)常數(shù)，則,(5)D(X)=0,存在常數(shù),C,，使得,PX=C=1,，且,C=EX.,4.2.2,方差的性質(zhì),27,4.2.3,變異系數(shù)，矩,定義,4.4,若隨機(jī)變量,X,的期望、方差均存在，且，則變異系數(shù)為,定義,4.5,若隨機(jī)變量,X,對(duì)非負(fù)整數(shù),k,有下列期望存在，,X,的,k,階原點(diǎn)矩,X,的,k,階中心矩,28,例,4.15,隨機(jī)變量求,X,的變異系數(shù)，,k,階原點(diǎn)矩及,3,階中心矩29,隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)化,設(shè)隨機(jī)變量,X,的數(shù)學(xué)期望,E(X),，方差,D(X),均存在，且,D(X)0,，定義一個(gè)新的隨機(jī),變量,則,EX*=0,，,DX*=1,，,稱,X*,是隨機(jī)變量,X,的標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量。

30,定義,4.6,：對(duì)二維隨機(jī)變量,(X,Y),，,Cov(X,Y)=EX,-,E(X)Y,-,E(Y),稱為,X,及,Y,的協(xié)方差4.3.1,協(xié)方差,Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).,協(xié)方差的計(jì)算式為：,特別地，,Cov(X,X)=DX.,31,協(xié)方差的性質(zhì),(1),Cov(X,Y)=Cov(Y,X),(2)Cov(X,a)=0,(3)Cov(aX,bY)=abCov(X,Y),(4),Cov(X+Y,Z)=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z),(6),若,X,及,Y,獨(dú)立，則,Cov(X,Y)=0.,32,二維向量的數(shù)字特征,對(duì)二維隨機(jī)變量,(X,Y),稱向量,為,(X,Y),的,協(xié)方差陣可推廣到,n,維）,稱矩陣,為,(X,Y),的,數(shù)學(xué)期望,(,均值向量,).,33,例,4.16 (X,Y),有二維分布律,XY,0 1 2,0,1,1/6 1/12 1/6,1/12 1/3 1/6,求,(X,Y),的數(shù)學(xué)期望和協(xié)方差矩陣,.,解,：,(1),先求,X,Y,的邊緣分布律,;,34,例,4.16,(2),計(jì)算,X,Y,的期望和方差,得：,(3),為計(jì)算,Cov(X,Y),，須計(jì)算二維隨機(jī)變量函數(shù),Z=XY,的期望：,(4),余下的代入公式計(jì)算，見,P123.,35,例,4.17,隨機(jī)變量,且,X,Y,獨(dú)立,求,D(3X-2Y+Z).,解：本題主要利用協(xié)方差的性質(zhì),D(3X-2Y+Z)=D(3X-2Y)+DZ,+2Cov(3X-2Y,Z),D(3X-2Y)=?,=D(3X)+D(2Y),2Cov(3X,Z)-2Cov(2Y,Z),Cov(3X-2Y,Z)=?,36,標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量的協(xié)方差,常數(shù),4.3.2,相關(guān)系數(shù),37,定義,4.4,若隨機(jī)變量,X,，,Y,的期望和方差均存在，且,DX0,DY0,，則,稱為,X,及,Y,的相關(guān)系數(shù)。

38,相關(guān)系數(shù)的性質(zhì),定理,4.4 (1)R(X,Y)=R(Y,X),(2)|R(X,Y)|1,(3)|R(X,Y)|=1,的充要條件為：存在常數(shù),a,b,且,a0,使得,P(Y=aX+b)=1.,特別地，若,a0,可得,R(X,Y)=1,稱為,正線性相關(guān)；反之,稱為負(fù)線性相關(guān)39,關(guān)于,t,的一元二次方程,f(t),對(duì)任意,t,都有,證明：,(2)|R(X,Y)|1,40,獨(dú)立,及,不相關(guān),X,Y,獨(dú)立時(shí)，可以推出,Cov(X,Y)=0,因而可以推出,R(X,Y)=0,即不相關(guān)；,反之不一定成立，即：,X,Y,不相關(guān)不能說明,X,Y,獨(dú)立例,4.19,設(shè),XU(-1,1),Y=X,2,則,X,Y,不相關(guān),.,解,:,41,例,4.20,設(shè)二維隨機(jī)變量,(X,Y),在,G,上均勻分布，,其中,求,X,Y,的期望,及,方差；,證明：,X,與,Y,不相關(guān)，不獨(dú)立解：寫出,(X,Y),的聯(lián)合密度函數(shù),x+y=1,x-y=1,42,例,4.20,分別求出,X,Y,的邊緣密度函數(shù),同理,:,從而,:,同理,:,x+y=1,x-y=1,43,x+y=1,x-y=1,可見，,X,Y,不相關(guān)但是在,G,中，,例,4.20,可見，,X,Y,不獨(dú)立。

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