湖南省瀏陽(yáng)市2024屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期6月適應(yīng)性考試[含答案]

高三數(shù)學(xué)適應(yīng)性考試試卷注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)在答題卡上填寫清楚.2.每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).在試題卷上作答無效.3.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回，滿分150分，考試用時(shí)120分鐘.一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知集合，集合，若，則（ ）A. B.0 C.1 D.22.已知復(fù)數(shù)，則（ ）A. B. C. D.3.已知平面向量，，，若，，則為（ ）A.5 B. C.2 D.4.2024年春節(jié)期間，有《熱辣滾燙》、《飛馳人生2》、《第二十條》、《熊出沒·逆轉(zhuǎn)時(shí)空》、《紅毯先生》等五部電影上映，小李準(zhǔn)備和另3名同學(xué)一行去隨機(jī)觀看這五部電影中的某一部電影，則小李看《熱辣滾燙》，且4人中恰有兩人看同一部電影的概率為（ ）A. B. C. D.5.已知函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)是，且在上單調(diào)，則（ ）A. B. C. D.6.物理學(xué)家本·福特提出的定律：在b進(jìn)制的大量隨機(jī)數(shù)據(jù)中，以n開頭的數(shù)出現(xiàn)的概率為應(yīng)用此定律可以檢測(cè)某些經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)、選舉數(shù)據(jù)是否存在造假或錯(cuò)誤.若，則k的值為（ ）A.7 B.8 C.9 D.107.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P在雙曲線的右支上，且滿足，則該雙曲線離心率的取值范圍是（ ）A. B. C. D.8.若函數(shù)恰好有四個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）A. B. C. D.二、多項(xiàng)選擇題（本大題共3個(gè)小題，每小題6分，共18分，在每個(gè)給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9.下列命題正確的是（ ）A.已知，若，則B.若散點(diǎn)圖的散點(diǎn)均落在一條斜率非0的直線上，則決定系數(shù)C.數(shù)據(jù)，，，，的均值為4，標(biāo)準(zhǔn)差為1，則這組數(shù)據(jù)中沒有大于5的數(shù)D.數(shù)據(jù)12，23，35，47，61的75百分位數(shù)為4710.若圓與圓交于A，B兩點(diǎn)，則下列選項(xiàng)中正確的是（ ）A.點(diǎn)在圓內(nèi)B.直線的方程為C.圓上的點(diǎn)到直線距離的最大值為D.圓上存在兩點(diǎn)P，Q，使得11.如圖，在平行四邊形中，，，，E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn)，沿將折起到的位置（不在平面上），在折起過程中，下列說法不正確的是（ ）A.若M是的中點(diǎn)，則平面B.存在某位置，使C.當(dāng)二面角為直二面角時(shí)，三棱錐外接球的表面積為D.直線和平面所成的角的最大值為三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.在中，，，，則______.13.在棱長(zhǎng)為的正方體中，以為球心、2為半徑的球與正方體的面相交，則交線長(zhǎng)為______.14.一項(xiàng)拋擲骰子的過關(guān)游戲規(guī)定：在第n關(guān)要拋擲一顆骰子n次，如果這n次拋擲所出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)和大于，則算過關(guān).游戲者可以隨意挑戰(zhàn)某一關(guān).若直接挑戰(zhàn)第三關(guān)，則通關(guān)的概率為______，若直接挑戰(zhàn)第四關(guān)，則不能通關(guān)的概率為______四.解答題（共5小題，共77分）15.（本小題滿分13分）如圖，三棱柱，側(cè)面底面，且，.（1）證明：平面；（2）若，，求平面與平面夾角的余弦值.16.（本小題滿分15分）已知函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，且.（1）若曲線在處的切線為，求k，b的值；（2）在（1）的條件下，證明：.17.（本小題滿分15分）已知數(shù)列滿足.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）已知數(shù)列滿足.①求數(shù)列的前n項(xiàng)和；②若不等式對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.18.（本小題滿分17分）雙曲線上一點(diǎn)到左、右焦點(diǎn)距離之差為6.（1）求C的方程；（2）已知，，過點(diǎn)的直線l與C交于M，N（異于A，B）兩點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)P，試問點(diǎn)P到直線的距離是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由.19.（本小題滿分17分）設(shè)n次多項(xiàng)式，若其滿足，則稱這些多項(xiàng)式為切比雪夫多項(xiàng)式.例如：由可得切比雪夫多項(xiàng)式，由可得切比雪夫多項(xiàng)式.（1）若切比雪夫多項(xiàng)式，求實(shí)數(shù)a，b，c，d的值；（2）對(duì)于正整數(shù)時(shí)，是否有成立？（3）已知函數(shù)在區(qū)間上有3個(gè)不同的零點(diǎn)，分別記為，，，證明：.高三數(shù)學(xué)適應(yīng)性考試測(cè)試卷答案1.選：B.【解答】集合，集合，若，則.2.選：D【解答】因?yàn)?，所以，所?3.選：A.【解答】由于，，所以，解得，，所以，所以.4.選：C.【解答】依題意每位同學(xué)均有5種選擇，則四位同學(xué)一共有種方案，若小李看《熱辣滾燙》，且4人中恰有兩人看同一部電影，有①兩人看《熱辣滾燙》，則有種方案，②一人看《熱辣滾燙》，則有種方案，即滿足小李看《熱辣滾燙》，且4人中恰有兩人看同一部電影一共有種方案，所求概率.5.選：B.【解答】解：因?yàn)榈囊粋€(gè)零點(diǎn)是，所以，即，所以，，即，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)，則，即，所以.6.選：C.【解答】由題意可知，，所以，，，，即，所以，所以.7.選：D.【解答】在中，由正弦定理得，則....①，∵....②，由①②可得，∵點(diǎn)P在雙曲線的右支上，∴，整理可得：，且，∴，且.解得.8.選：C.【解答】解：因?yàn)?，所以不是的零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，令，得，令，由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，且當(dāng)x趨近時(shí)，趨近2，如圖所示：所以當(dāng)時(shí)，與的圖象有且僅有四個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)函數(shù)恰好有四個(gè)零點(diǎn).9.選：ABD.【解答】對(duì)于A：已知，若，則，A正確；對(duì)于B：若散點(diǎn)圖的散點(diǎn)均落在一條斜率非0的直線上，則變量與變量之間滿足線性函數(shù)關(guān)系，則決定系數(shù)，B正確；對(duì)于C：不妨設(shè)，，，，，，則，解得，此時(shí)，故找到一組數(shù)，，4，，，數(shù)據(jù)中有大于5的數(shù)，C錯(cuò)誤；對(duì)于D：，故這組數(shù)據(jù)的75百分位數(shù)為47，D正確.10.選：BC【解答】因?yàn)椋渣c(diǎn)在圓外，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，圓與圓交于A，B兩點(diǎn)，因?yàn)閳A和圓相交，將兩圓相減可得：，即公共弦所在直線的方程為，故B正確；對(duì)于C，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為2，圓心到直線的距離，所以圓上的點(diǎn)到直線距離的最大值為，故C正確；直線經(jīng)過圓的圓心，所以線段是圓的直徑，故圓中不存在比長(zhǎng)的弦，D錯(cuò)誤.11.選：ABD.【解答】解：取中點(diǎn)Q，連接、，若A正確，則平面，且為三角形中位線，則，又面，則面，∵，，平面，∴平面平面，∵面平面，面平面，∴，由題意為三角形中位線，，矛盾，假設(shè)不成立，故A錯(cuò)誤；以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，為y軸正半軸，在平面中作與垂直方向?yàn)閤軸正半軸，z軸垂直平面，建立空間坐標(biāo)系.∵，，，∴，∴，∴，∴，即，又∵，∴，若B正確，則有，∵，，平面，∴平面，∵平面，則必定成立.則根據(jù)題意，可得，，，，，，則，即不成立，矛盾，故B不成立；當(dāng)二面角為直二面角時(shí)，即平面平面.根據(jù)上面可知，∴，又，∵，，平面，∴平面，∵平面，∴，故四面體為所有面都是直角三角形的四面體，根據(jù)外接球性質(zhì)可知，球心必為中點(diǎn)K，即為外接球半徑.，，由勾股定理可知，則，外接球面積為，故C正確.當(dāng)平面平面時(shí)，直線和平面所成的角的最大，記此時(shí)角為.由圖可知，在中，，，，由余弦定理可解得.此時(shí).此時(shí)，故D錯(cuò).12.答案為：2.【解答】解：，，，則，解得.13.答案為：.解：因?yàn)樵谡襟w中，平面，所以平面與球的截面是以A為圓心的圓，且半徑為，所以球面與底面的交線是以A為圓心，為半徑的弧，該交線的長(zhǎng)度為.14.【答案】，.【解答】解：若挑戰(zhàn)第3關(guān)，則擲3次骰子，總的可能數(shù)為種，不能過關(guān)的基本事件為方程，其中，4，5，6，7，8，9的正整數(shù)解的總數(shù)，共有種，不能過關(guān)的概率為.故通關(guān)的概率為.若挑戰(zhàn)第4關(guān)，則投擲4次骰子，總的可能數(shù)為種，不能通關(guān)的基本事件為方程，其中，5，6，…，16的正整數(shù)解的總數(shù)，當(dāng)，5，…，9共有種，當(dāng)時(shí)，種，當(dāng)時(shí)，種，當(dāng)時(shí)，種，當(dāng)時(shí)，種.當(dāng)時(shí)，種.當(dāng)時(shí)，種.當(dāng)時(shí)，種，所以不能過關(guān)的概率為.15.【解答】解：（1）證明：取的中點(diǎn)M，連結(jié)、.因?yàn)?，，所以?由于，平面，且，因此平面.因?yàn)槠矫妫?又因?yàn)?，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，且平面，所以平?因?yàn)?，所以平?（2）因?yàn)?，且，所?以，，所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，.所以，，.設(shè)平面的法向量為則，令，則，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，設(shè)平面與平面夾角為，則，16.【解答】解：（1）由題意得，則.因?yàn)?，所?則在點(diǎn)處的切線斜率為.又因?yàn)?，所以在點(diǎn)處的切線方程為，即得，.（2）證明：設(shè)函數(shù)，，則.設(shè)，則，所以，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.又因?yàn)椋?，時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.又當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，綜上，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，即，所以，當(dāng)時(shí)，.17.【解答】解：（1）因?yàn)棰?，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，②，得，即；因?yàn)榉?，所以，?）①由（1）知，所以，，所以，兩式相減得，，所以；②由①得，設(shè)，則數(shù)列是遞增數(shù)列. 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，恒成立，所以；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，恒成立，所以即.綜上，的取值范圍是.18.【解答】解：（1）因?yàn)殡p曲線C上一點(diǎn)到左、右焦點(diǎn)的距離之差為6，所以，解得，，則C的方程為；（2）當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí)，可得直線l的方程為，因?yàn)檫^點(diǎn)的直線l垂與C交于M，N（異于A，B）兩點(diǎn)，解得，不妨令，，易得直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立，解得，則點(diǎn)P到直線的距離；當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，不妨設(shè)直線l的方程為，，，聯(lián)立，消去x并整理得，此時(shí)滿足，由韋達(dá)定理得，，所以直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立，消去y并整理得，解得，所以點(diǎn)P在定直線上，因?yàn)橹本€與直線之間的距離為，綜上得，點(diǎn)P到直線的距離為定值，定值為.19.解：（1）根據(jù)題中條件可得：，所以，即，對(duì)照系數(shù)可得：，，；（2）成立，理由如下：要證成立.只需證明和差化積式：.首先有如下兩個(gè)式子：，，兩式左右分別相加得：，將替換為x，所以，即.所以對(duì)于正整數(shù)時(shí)，有成立；（3）證明：函數(shù)在區(qū)間上有3個(gè)不同的零點(diǎn)，，，即方程在區(qū)間上有3個(gè)不同的實(shí)根，令，，由（1）知，且，解得或或，即或或，所以，，，則，而，所以.。