湖南省邵陽市邵東市223～2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試試題[含答案]

2024年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期聯(lián)考試卷考試時(shí)間：120分鐘 試卷滿分：150分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1. 已知復(fù)數(shù)z 滿足，則（ ）A. 1 B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】直接根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算以及復(fù)數(shù)模的定義即可得到答案.【詳解】 ，所以 故選：D．2. 某校高一學(xué)生550人，高二學(xué)生500人，高三學(xué)生450人，現(xiàn)有分層抽樣，在高三抽取了18人，則高二應(yīng)抽取的人數(shù)為（ ）A. 24 B. 22 C. 20 D. 18【答案】C【解析】【分析】根據(jù)分層抽樣的知識(shí)求得正確答案.【詳解】設(shè)高二應(yīng)抽取的人數(shù)為人，則，解得人.故選：C3. 已知向量滿足，且，則在上的投影向量為（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】向量在向量上的投影向量的定義計(jì)算即可.【詳解】解：因?yàn)橄蛄?，且，那么，所以向量在向量上的投影向量為?故選：C.4. 已知、、是三個(gè)不同的平面，、、是三條不同的直線，則（ ）A. 若，，則 B. 若，，，則C. 若，，，則 D. 若，且，則【答案】B【解析】【分析】根據(jù)空間中線線、線面、面面的位置關(guān)系一一判斷即可.【詳解】對(duì)于A：若，，則或與相交或與異面，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理可知，若，且，，則，故B正確；對(duì)于C：若，，則，又，則或與相交或與異面，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：若，且，則或，故D錯(cuò)誤.故選：B5. 下表是足球世界杯連續(xù)八屆的進(jìn)球總數(shù)年份19941998200220062010201420182022進(jìn)球總數(shù)141171161147145171169172則進(jìn)球總數(shù)的第一四分位數(shù)是（ ）A. 145 B. 146 C. 147 D. 166【答案】B【解析】【分析】根據(jù)百分位數(shù)的定義將數(shù)據(jù)按照從小到大的順序重新排列，取第二和第三個(gè)數(shù)的平均數(shù)即可求得第一四分位數(shù).【詳解】將八屆進(jìn)球總數(shù)按照從小到大的順序重新排列為：，由可得，第一四分位數(shù)應(yīng)該是第二個(gè)數(shù)和第三個(gè)數(shù)的平均數(shù)，即，所以進(jìn)球總數(shù)的第一四分位數(shù)是146.故選：B6. 一個(gè)質(zhì)地均勻的正四面體的四個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4.連續(xù)拋擲這個(gè)正四面體兩次，并記錄每次正四面體朝下的面上的數(shù)字.記事件為“兩次記錄的數(shù)字和為奇數(shù)”，事件為“兩次記錄的數(shù)字和大于4”，事件為“第一次記錄的數(shù)字為奇數(shù)”，事件為“第二次記錄的數(shù)字為偶數(shù)”，則（ ）A. 與互斥 B. 與對(duì)立C. 與相互獨(dú)立 D. 與相互獨(dú)立【答案】D【解析】【分析】列舉出基本事件，對(duì)四個(gè)選項(xiàng)一一判斷：對(duì)于A：由事件A與D有相同的基本事件，否定結(jié)論；對(duì)于B：由事件C與D有相同的基本事件，否定結(jié)論；對(duì)于C、D：利用公式法進(jìn)行判斷.【詳解】連續(xù)拋擲這個(gè)正四面體兩次，基本事件有：.其中事件A包括： .事件B包括： .事件C包括：.事件D包括： .對(duì)于A：因?yàn)槭录嗀與D有相同的基本事件，故與互斥不成立.故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：因?yàn)槭录﨏與D有相同的基本事件，故C與對(duì)立不成立.故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：因?yàn)?,而.因?yàn)椋耘c不是相互獨(dú)立.故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：因?yàn)?,而.因?yàn)閮蓚€(gè)事件的發(fā)生與否互不影響，且，所以與相互獨(dú)立.故D正確.故選：D7. 點(diǎn)為所在平面內(nèi)的點(diǎn)，且有，，，則點(diǎn)分別為的（ ）A. 垂心，重心，外心 B. 垂心，重心，內(nèi)心C. 外心，重心，垂心 D. 外心，垂心，重心【答案】A【解析】【分析】由題中向量的關(guān)系，根據(jù)數(shù)量積轉(zhuǎn)化為位置上的關(guān)系，進(jìn)而可判斷.【詳解】由，得，即，則，得所以，則，同理可得，，即是三邊上高的交點(diǎn)，則為的垂心；由，得，設(shè)的中點(diǎn)為，則，即，，三點(diǎn)共線，所以在的中線上，同理可得在的其余兩邊的中線上，即是三邊中線的交點(diǎn)，故為的重心；由，得，即，又是的中點(diǎn)，所以在的垂直平分線上，同理可得，在，的垂直平分線上，即是三邊垂直平分線交點(diǎn)，故是的外心，故選：A8. 在三棱錐中，，，，，則該三棱錐的外接球的表面積為（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】在中由余弦定理求得，即知為等邊三角形，又由已知，若的外接圓的圓心為有為菱形，則平面ABC，進(jìn)而確定外接球球心O，由球心與相關(guān)點(diǎn)的位置關(guān)系求球的半徑，最后求表面積即可.【詳解】在中，，即，又，∴為等邊三角形根據(jù)題意，有如下示意圖：如圖，設(shè)的外接圓的圓心為，連接，，，連接PH.由題意可得，且，.∴由上知：且，又，∴，由，平面ABC.設(shè)O為三棱錐外接球的球心，連接，，OC過O作，垂足為D，則外接球的半徑R滿足，， ，代入解得，即有，∴三棱錐外接球的表面積為.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用三角形的性質(zhì)確定三棱錐一面的外接圓圓心，由三棱錐外接球球心與面的外接圓圓心的關(guān)系以及已知線段的長度求球體半徑，即可求球體的體積.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9. 某校舉辦數(shù)學(xué)文化節(jié)活動(dòng)，10名教師組成評(píng)委小組，給參加數(shù)學(xué)演講比賽的選手打分.已知各位評(píng)委對(duì)某名選手的打分如下：則下列結(jié)論正確的為（ ）A. 平均數(shù)為48 B. 極差為9C. 中位數(shù)為47 D. 第75百分位數(shù)為51【答案】BC【解析】【分析】運(yùn)用平均數(shù)、極差、中位數(shù)及百分位數(shù)的公式計(jì)算即可.【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，平均數(shù)為，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，極差為，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，這組數(shù)從小到大排序?yàn)椋?、、、、、、、、、，所以中位?shù)為.故C項(xiàng)正確；對(duì)于D項(xiàng)，因?yàn)?，所以?5百分位數(shù)為49.故選：BC10. 中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，為的外心，，，的面積滿足.若.則下列結(jié)論正確的是（? ?）A. B. C. D. 【答案】ACD【解析】分析】由余弦定理、面積公式、輔助角公式化簡條件可判斷A；利用面積公式計(jì)算可判斷B；分別取的中點(diǎn)可得，求出、，再計(jì)算可判斷C；對(duì)兩邊分別乘以可判斷D．【詳解】對(duì)于A，由，得，由余弦定理得，即，得，又，故，∴，即，所以A正確；對(duì)于B，，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C，如圖，分別取的中點(diǎn)，連接，，所以，，，所以C正確；對(duì)于D，，由，可知，得，解得：，，故，所以D正確．故選：ACD.11. 如圖，在正方體中，，點(diǎn)為線段上的一動(dòng)點(diǎn)，則（ ） A. 三棱錐的體積為定值B. 當(dāng)時(shí)，直線與平面所成角的正切值為C. 直線與直線所成角的余弦值可能為D. 的最小值為【答案】ACD【解析】【分析】利用等體積法可知三棱錐的體積為定值，即A正確；由可得為的中點(diǎn)，利用線面角的定義可得直線與平面所成角的正切值為，即B錯(cuò)誤；將直線平移可知當(dāng)時(shí)，滿足直線與直線所成角的余弦值為，即C正確；利用平面展開圖和正方體的棱長即可求得的最小值為，可得D正確.【詳解】對(duì)于A，根據(jù)等體積法可知，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的面積為定值，，此時(shí)即為三棱錐的高，所以；即點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，三棱錐的體積為定值，即A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)即可知，為線段的中點(diǎn)，取的中點(diǎn)為，連接，如下圖所示： 易知，由正方體性質(zhì)可得平面，所以可得平面；即直線與平面所成角的平面角即為，易知，且，所以，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C，在上取一點(diǎn)，使，取中點(diǎn)為，連接，如下圖所示： 則可得，異面直線與直線所成的角的平面角即為，易知，所以可得，因此，若直線與直線所成角的余弦值為，即，可得；又，可得符合題意；所以C正確；對(duì)于D，易知，所以，即當(dāng)取最小時(shí)，的值最小；將正方體展開使得在同一平面內(nèi)，如下圖所示： 易知，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取最小值，所以，即的最小值為，所以D正確.故選：ACD【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：在立體幾何中求解距離最值問題時(shí)，往往利用平面展開圖轉(zhuǎn)化成平面距離最值問題，從而求得空間當(dāng)中距離最值的問題.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12. 已知向量，若，則實(shí)數(shù)__________．【答案】【解析】【分析】由向量的加法、減法運(yùn)算，數(shù)乘運(yùn)算可得：,,由向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算可得：，求解即可.【詳解】解:因?yàn)橄蛄?，所?,又，所以,解得,故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查了向量的加法、減法運(yùn)算，數(shù)乘運(yùn)算及向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算，重點(diǎn)考查了運(yùn)算能力，屬基礎(chǔ)題.13. 哥德巴赫猜想是“每個(gè)大于2的偶數(shù)可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和”，如，在不超過11的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和為偶數(shù)的概率是________（用分?jǐn)?shù)表示）．【答案】##【解析】【分析】先把不超過11的素?cái)?shù)列舉出來，再利用列舉法與古典概型的概率求法求解即可.【詳解】因?yàn)椴怀^11的素?cái)?shù)有五個(gè)數(shù)，從中選取兩個(gè)不同的數(shù)的基本事件有共10件；其中和為偶數(shù)的基本事件有共6件；所以和為偶數(shù)的概率為.故答案為：.14. 《九章算術(shù)·商功》中描述幾何體“陽馬”為底面為矩形，一棱垂直于底面的四棱錐.現(xiàn)有陽馬，如圖，平面，，，點(diǎn)，分別在線段，上，則當(dāng)空間四邊形的周長最小時(shí)，直線與平面所成角的正切值為____________.【答案】【解析】【分析】將平面沿展開，延長到，使得，可確定當(dāng)空間四邊形周長最小時(shí)，四點(diǎn)共線，此時(shí)在四棱錐中，作，，由線面垂直和面面垂直的判定與性質(zhì)可證得即為所求角，根據(jù)長度關(guān)系可求得結(jié)果.【詳解】把平面PAB沿AB展開到與平面ABCD共面的的位置，如圖1，延長DC到使得連接則.因?yàn)镻D的長度為定值，所以要使空間四邊形PEFD的周長最小，只需使最小,即四點(diǎn)共線，此時(shí)，在圖2中，過點(diǎn)作的延長線于點(diǎn)G,連接PG,平面平面,又平面平面PAG,平面,平面平面,過作于點(diǎn)H,則平面,故即直線PA與平面PFD所成的角.,則在中, 故答案為: .【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查立體幾何中的直線與平面所成角的求解，解題關(guān)鍵是能夠根據(jù)空間四邊形周長最小確定四點(diǎn)共線，由此可得四棱錐中各點(diǎn)的位置關(guān)系.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15. 已知向量，，.（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和最小正周期；（2）若當(dāng)時(shí)，關(guān)于的不等式有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）單調(diào)增區(qū)間為，；；（2）.【解析】【分析】（1）利用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算,并利用兩角和差的三角函數(shù)公式化簡得到函數(shù)的解析式，有三角函數(shù)的性質(zhì)求得周期，單調(diào)增區(qū)間；（2）將不等式分離參數(shù)，根據(jù)不等式有解的意義得到；然后根據(jù)角的范圍，利用三角函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)的最小值，進(jìn)而求得的的取值范圍.【詳解】（1）因?yàn)樗院瘮?shù)的最小正周期；因?yàn)楹瘮?shù)的單調(diào)增區(qū)間為，，所以，，解得，，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，；（2）不等式有解，即；因?yàn)?，所以，又，故?dāng)，即時(shí)， 取得最小值，且最小值為，所以.16. 如圖，在三棱柱中，直線平面，平面平面. （1）求證：；（2）若，在棱上是否存在一點(diǎn)，使得四棱錐的體積為？若存在，指出點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）證明見講解； （2）當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，四棱錐的體積為，理由見詳解.【解析】【分析】（1）過點(diǎn)作，垂足為，由面面垂直性質(zhì)定理及線面垂直判定定理，即可證明；（2）設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由棱錐的體積公式求出，與到平面的距離比較可得出點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，符合題意.【小問1詳解】過點(diǎn)作，垂足為， 因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以，又因?yàn)槠矫妫矫?，所以，又平面，所以平面，又平面，所?【小問2詳解】當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，四棱錐的體積為，理由如下： 過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又，所以，由?）可知，，所以，即，所以，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，所以，即到平面的距離為，在三棱柱中，，由（1）可知，平面，所以平面，又，所以，又，平面，平面，所以平面，所以到平面的距離為，即，故為中點(diǎn)，所以為中點(diǎn)時(shí)，四棱錐體積為.17. 4月23日是聯(lián)合國教科文組織確定的“世界讀書日”.某高校為了了解全體師生閱讀時(shí)間的分配情況，對(duì)全校師生進(jìn)行抽樣問卷調(diào)查日平均閱讀時(shí)間（單位：小時(shí)），得到樣本數(shù)據(jù)，并繪制如圖所示的頻率分布直方圖. （1）求頻率分布直方圖中的值；（2）根據(jù)頻率分布直方圖估算全校師生日平均閱讀時(shí)間；（每組數(shù)據(jù)用該組的區(qū)間中點(diǎn)值作代表）（3）將（2）所得到的日平均閱讀時(shí)間保留為整數(shù)，并根據(jù)頻率分布直方圖估算師生日平均閱讀時(shí)間的方差.【答案】（1） （2）9.16（小時(shí)） （3）9；13.28.【解析】【分析】（1）由頻率分布直方圖概率之和為1，求解即可；（2）由頻率分布直方圖平均數(shù)的計(jì)算公式求解即可；（3）由頻率分布直方圖的方差公式求解即可.【小問1詳解】由概率和為1得：，解得.【小問2詳解】由題意知，為全校師生日平均閱讀時(shí)間，則，所以全校師生日平均閱讀時(shí)間為（小時(shí)）.【小問3詳解】將保留整數(shù)則，由題意知：所以估算師生日平均閱讀時(shí)間的方差為13.28.18. 如圖所示，長方形中，，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，將沿翻折到，連接，得到圖的四棱錐． （1）求四棱錐的體積的最大值；（2）若棱的中點(diǎn)為，求的長；【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】（1）確定當(dāng)平面⊥平面時(shí)四棱錐的體積取得最大值，結(jié)合棱錐的體積公式計(jì)算即可求解；（2）如圖，根據(jù)題意和中位線的性質(zhì)可得四邊形為平行四邊形，結(jié)合勾股定理計(jì)算即可求解.【小問1詳解】取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，則，當(dāng)平面⊥平面時(shí)，點(diǎn)到平面的距離最大，四棱錐的體積取得最大值，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)，易得此時(shí)平面，且，底面為梯形，面積為，則四棱錐的體積最大值為； 【小問2詳解】取中點(diǎn)，連接，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以為的中位線，所以且，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，四邊形為矩形，所以且，所以且，故四邊形為平行四邊形，所以. 19. 若函數(shù)在時(shí)，函數(shù)值的取值區(qū)間恰為，就稱區(qū)間為的一個(gè)“倒域區(qū)間”.已知定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.（1）求的解析式；（2）求函數(shù)在內(nèi)的“倒域區(qū)間”；（3）求函數(shù)在定義域內(nèi)的所有“倒域區(qū)間”.【答案】（1） （2） （3）和【解析】【分析】（1）設(shè)，利用奇函數(shù)的定義可求得函數(shù)在上的解析式，由此可得出函數(shù)在上的解析式；（2）設(shè)，分析函數(shù)在上的單調(diào)性，可出關(guān)于、的方程組，解之即可；（3）分析可知，只需討論或，分析二次函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)題中定義可得出關(guān)于實(shí)數(shù)、的等式組，求出、的值，即可得出結(jié)果.小問1詳解】解：當(dāng)時(shí)，則，由奇函數(shù)的定義可得，所以，.【小問2詳解】解：設(shè)，因?yàn)楹瘮?shù)在上遞減，且在上的值域?yàn)?，所以，，解得，所以，函?shù)在內(nèi)的“倒域區(qū)間”為.【小問3詳解】解：在時(shí)，函數(shù)值的取值區(qū)間恰為，其中且，，所以，，則，只考慮或，①當(dāng)時(shí)，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，，則，所以，，所以，，由（2）知在內(nèi)的“倒域區(qū)間”為；②當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，，所以，，所以，.，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，則，解得，所以，在內(nèi)的“倒域區(qū)間”為.綜上所述，函數(shù)在定義域內(nèi)的“倒域區(qū)間”為和.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)的新定義，解題的關(guān)鍵在于分析函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合題意得出關(guān)于參數(shù)的方程，進(jìn)行求解即可.。