山東省煙臺市牟平區(qū)2023～2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期6月月考試題[含答案]
山東省煙臺市牟平區(qū)2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期6月月考試題一、單選題：1. 已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是，若，則（ ）A. B. 1 C. 2 D. 42. 已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 43. 已知的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，則其展開式的常數(shù)項(xiàng)為（ ）A. B. 240 C. 60 D. 4. 下列說法正確的是（ ）A. 隨機(jī)變量，則B. 某人在7次射擊中，擊中目標(biāo)的次數(shù)為且，則當(dāng)時(shí)概率最大C. 從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)黑球的口袋內(nèi)任取2個(gè)球，至少有一個(gè)黑球與至少有一個(gè)紅球是兩個(gè)互斥而不對立的事件D. 從個(gè)紅球和個(gè)白球顏色外完全相同中，一次摸出個(gè)球，則摸到紅球的個(gè)數(shù)服從超幾何分布5. 函數(shù)在定義域內(nèi)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（ ）A. B. C. D. 6. 已知函數(shù)是奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，若的圖象在處的切線方程為，則（ ）A. 4 B. C. 2 D. 7. 若，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 8. 已知，，，，則下列大小關(guān)系正確的是（ ）A. B. C. D. 二、多選題9. 已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則下列說法正確的是（ ）A. B. C. 為遞減數(shù)列 D. 的前5項(xiàng)和為10. 學(xué)校食堂每天中午都會提供兩種套餐供學(xué)生選擇（學(xué)生只能選擇其中的一種），經(jīng)過統(tǒng)計(jì)分析發(fā)現(xiàn)：學(xué)生第一天選擇套餐概率為，選擇套餐概率為；而前一天選擇了套餐的學(xué)生第二天選擇套餐的概率為，選擇套餐的概率為；前一天選擇套餐的學(xué)生第二天選擇套餐的概率為，選擇套餐的概率也是；如此反復(fù)，記某同學(xué)第天選擇套餐的概率為，選擇套餐的概率為；5個(gè)月（150天）后，記甲、乙、丙三位同學(xué)選擇套餐的人數(shù)為，則下列說法中正確的是（ ）A. B. C. D. 11. 已知函數(shù)（a為常數(shù)），若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，，則下列說法正確是（ ）A B. C. D. 三、填空題：12 已知，，，則________.13. 等差數(shù)列中，為的前n項(xiàng)和，，若不等式，對任意的恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為_________.14. 英國數(shù)學(xué)家布魯克?泰勒以發(fā)現(xiàn)泰勒公式、泰勒級數(shù)和泰勒展開式而聞名于世．計(jì)算器在計(jì)算，，，等函數(shù)函數(shù)值時(shí)，是通過寫入“泰勒展開式”程序的芯片完成的．“泰勒展開式”是：如果函數(shù)在含有的某個(gè)開區(qū)間內(nèi)可以多次進(jìn)行求導(dǎo)數(shù)運(yùn)算，則當(dāng)，且時(shí)，有．其中是的導(dǎo)數(shù)，是的導(dǎo)數(shù)，是的導(dǎo)數(shù)，階乘，．取，則的“泰勒展開式”中第三個(gè)非零項(xiàng)為______，精確到0.01的近似值為______．四、解答題：15. 已知數(shù)列的首項(xiàng)為，且滿足.（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）設(shè)，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求，并證明：.16. 已知函數(shù)．（1）求單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，證明：當(dāng)時(shí)，恒成立．17. 某學(xué)校為了解本學(xué)期學(xué)生參加公益勞動(dòng)的情況，從學(xué)校內(nèi)隨機(jī)抽取了500名高中學(xué)生進(jìn)行在線調(diào)查，收集了他們參加公益勞動(dòng)時(shí)間（單位:小時(shí)）分配情況等數(shù)據(jù)，并將樣本數(shù)據(jù)分成，，九組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.（1）為進(jìn)一步了解這500名學(xué)生參加公益勞動(dòng)時(shí)間的分配情況，從參加公益勞動(dòng)時(shí)間在三組內(nèi)的學(xué)生中，采用分層抽樣的方法抽取了10人，現(xiàn)從這10人中隨機(jī)抽取3人.記參加公益勞動(dòng)時(shí)間在內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為，求的分布列和期望；（2）以調(diào)查結(jié)果的頻率估計(jì)概率，從該學(xué)校所有高中學(xué)生中隨機(jī)抽取20名學(xué)生，用“”表示這20名學(xué)生中恰有名學(xué)生參加公益勞動(dòng)時(shí)間在]（單位:小時(shí)）內(nèi)的概率，其中.當(dāng)最大時(shí)，寫出的值.18. 已知函數(shù).（1）若函數(shù)在上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，①求實(shí)數(shù)的取值范圍；②求證：.19. 為應(yīng)對新一代小型無人機(jī)武器，某研發(fā)部門開發(fā)了甲、乙兩種不同的防御武器，現(xiàn)對兩種武器的防御效果進(jìn)行測試.每次測試都是由一種武器向目標(biāo)無人機(jī)發(fā)動(dòng)三次攻擊，每次攻擊擊中目標(biāo)與否相互獨(dú)立，每次測試都會使用性能一樣的全新無人機(jī).對于甲種武器，每次攻擊擊中目標(biāo)無人機(jī)的概率均為，且擊中一次目標(biāo)無人機(jī)墜毀的概率為，擊中兩次目標(biāo)無人機(jī)必墜毀；對于乙種武器，每次攻擊擊中目標(biāo)無人機(jī)的概率均為，且擊中一次目標(biāo)無人機(jī)墜毀的概率為，擊中兩次目標(biāo)無人機(jī)墜毀的概率為，擊中三次目標(biāo)無人機(jī)必墜毀.（1）若，分別使用甲、乙兩種武器進(jìn)行一次測試.①求甲種武器使目標(biāo)無人機(jī)墜毀的概率；②記甲、乙兩種武器使目標(biāo)無人機(jī)墜毀的數(shù)量為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.（2）若，且，試判斷在一次測試中選用甲種武器還是乙種武器使得目標(biāo)無人機(jī)墜毀的概率更大？并說明理由.22級高二數(shù)學(xué)限時(shí)練6.16一、單選題：1. 已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是，若，則（ ）A. B. 1 C. 2 D. 4【答案】B【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義，將增量化成即可得到.【詳解】因?yàn)樗怨蔬x：B2. 已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】D【解析】【分析】根據(jù)已知結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式求出首項(xiàng)和公差，即可求解.【詳解】由等差數(shù)列前項(xiàng)和公式,得，即.因?yàn)?，所?由，可得,所以，,所以.故選：D.3. 已知的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，則其展開式的常數(shù)項(xiàng)為（ ）A. B. 240 C. 60 D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)之和可得，結(jié)合二項(xiàng)展開式分析求解.【詳解】由題意可知：二項(xiàng)式系數(shù)之和為，可得，其展開式的通項(xiàng)為，令，解得，所以其展開式的常數(shù)項(xiàng)為.故選：B.4. 下列說法正確的是（ ）A. 隨機(jī)變量，則B. 某人在7次射擊中，擊中目標(biāo)的次數(shù)為且，則當(dāng)時(shí)概率最大C. 從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)黑球的口袋內(nèi)任取2個(gè)球，至少有一個(gè)黑球與至少有一個(gè)紅球是兩個(gè)互斥而不對立的事件D. 從個(gè)紅球和個(gè)白球顏色外完全相同中，一次摸出個(gè)球，則摸到紅球的個(gè)數(shù)服從超幾何分布【答案】D【解析】【分析】由二項(xiàng)分布的概率計(jì)算公式代入計(jì)算，即可判斷AB，由互斥事件對立事件的定義即可判斷C，由超幾何分布的定義即可判斷D【詳解】由二項(xiàng)分布的概率公式可得，故A錯(cuò)誤；在7次射擊中，擊中目標(biāo)的次數(shù)為且，當(dāng)時(shí)，對應(yīng)的概率為，當(dāng)時(shí)，，由可得，即當(dāng)時(shí)概率最大，故B錯(cuò)誤；至少有一黑球包含的基本事件為“一黑一紅，兩黑”，至少有一個(gè)紅球包含的基本事件為“一黑一紅，兩紅”，故至少有一個(gè)黑球與至少有一個(gè)紅球不互斥，故C錯(cuò)誤；設(shè)摸出紅球的個(gè)數(shù)為，則，故滿足超幾何分布，故D正確；故選：D5. 函數(shù)在定義域內(nèi)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】求導(dǎo)，根據(jù)極值分析可得與有2個(gè)變號交點(diǎn)，對求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性和最值，結(jié)合的圖象分析求解.【詳解】因?yàn)榈亩x域?yàn)?，且，令，可得，由題意可知與有2個(gè)變號交點(diǎn)，則，令，解得；令，解得；可知在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，可得，且當(dāng)x趨近于0，趨近于，當(dāng)x趨近于，趨近于0，可得的圖象，如圖所示：由圖象可得，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：D.6. 已知函數(shù)是奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，若的圖象在處的切線方程為，則（ ）A. 4 B. C. 2 D. 【答案】D【解析】【分析】由題意可得，，再根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)可得，，即可得解.【詳解】的圖象在處的切線方程為，則，，當(dāng)時(shí)，，，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，的圖象在處及處的切線也關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以，，即，所以，，．故選：D.7. 若，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由分離常數(shù)可得，設(shè)，根據(jù)的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)與方程的關(guān)系即可求解.【詳解】由，得，設(shè)，則，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以，又，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：A8. 已知，，，，則下列大小關(guān)系正確的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】等價(jià)變形已知條件，，構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，利用求導(dǎo)判斷單調(diào)性即可求解.【詳解】設(shè)，因?yàn)?，，，所以即，，顯然在上單調(diào)遞減，，所以在上單調(diào)遞減，所以，即，又，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，所以,故選：B.二、多選題9. 已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則下列說法正確的是（ ）A. B. C. 為遞減數(shù)列 D. 的前5項(xiàng)和為【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用等差數(shù)列的性質(zhì)求出公差，再逐項(xiàng)求解判斷即可.【詳解】等差數(shù)列中，，解得，而，因此公差，通項(xiàng)，對于A，，A錯(cuò)誤；對于B，，B正確；對于C，，為遞減數(shù)列，C正確；對于D，，所以的前5項(xiàng)和為，D錯(cuò)誤.故選：BC10. 學(xué)校食堂每天中午都會提供兩種套餐供學(xué)生選擇（學(xué)生只能選擇其中的一種），經(jīng)過統(tǒng)計(jì)分析發(fā)現(xiàn)：學(xué)生第一天選擇套餐概率為，選擇套餐概率為；而前一天選擇了套餐的學(xué)生第二天選擇套餐的概率為，選擇套餐的概率為；前一天選擇套餐的學(xué)生第二天選擇套餐的概率為，選擇套餐的概率也是；如此反復(fù)，記某同學(xué)第天選擇套餐的概率為，選擇套餐的概率為；5個(gè)月（150天）后，記甲、乙、丙三位同學(xué)選擇套餐的人數(shù)為，則下列說法中正確的是（ ）A. B. C. D. 【答案】ACD【解析】【分析】對于A，依題知每人每次只能選兩種套餐中的一種即得；對于C，易得，推得等比數(shù)列，求其通項(xiàng)即可判斷；對于B, D兩項(xiàng)，由題意得，由推得，即可計(jì)算判斷.【詳解】因每人每次只能選擇兩種套餐中的一種，故必有，故A正確；依題意，，則，因，則，故數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.于是，，即故C正確；因，故，依題，當(dāng)時(shí)，，故,則，因，則，故，故D正確；因，則，故B錯(cuò)誤.故選：ACD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：關(guān)鍵在于發(fā)現(xiàn)，從而推得等比數(shù)列，求得，繼而利用二項(xiàng)分布的相關(guān)公式計(jì)算即得.11. 已知函數(shù)（a為常數(shù)），若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，，則下列說法正確的是（ ）A. B. C. D. 【答案】ABD【解析】【分析】函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，直線與函數(shù)在上的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，由導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)圖象有，由，消去a可判斷選項(xiàng)A；設(shè)，可得，，構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性證明，可得判斷選項(xiàng)B；，取，則，可判斷選項(xiàng)C；構(gòu)造函數(shù)，證時(shí)，可得，證得選項(xiàng)D.【詳解】函數(shù)，定義域?yàn)?，由可得，可知直線與函數(shù)在上的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，則，且當(dāng)時(shí)，，如下圖所示： 當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)在上的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).對于A選項(xiàng)，由已知可得，消去a可得，A對；對于B選項(xiàng)，設(shè)，因?yàn)椋瑒t，所以，，若證，需證，即證，即證，構(gòu)造函數(shù)，其中，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，即有，B對；對于C選項(xiàng)，設(shè)，取，則，所以，，故，C錯(cuò)；對于D選項(xiàng)，若證，則需證，即證，構(gòu)造函數(shù)，其中，則，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，即，D對.故選：ABD．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題，方法如下：（1）直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式（或）轉(zhuǎn)化為證明（或），進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)；（2）適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).三、填空題：12. 已知，，，則________.【答案】##【解析】【分析】代入全概率公式，即可求解.【詳解】,，，即，則.故答案為：13. 等差數(shù)列中，為的前n項(xiàng)和，，若不等式，對任意的恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為_________.【答案】【解析】【分析】利用等差數(shù)列的定義及求和公式先計(jì)算基本量得，再分離參數(shù)，借助對勾函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】由題意可知，則的公差為，所以，則，即恒成立，由對勾函數(shù)的性質(zhì)知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，而，即，所以.故答案為：14. 英國數(shù)學(xué)家布魯克?泰勒以發(fā)現(xiàn)泰勒公式、泰勒級數(shù)和泰勒展開式而聞名于世．計(jì)算器在計(jì)算，，，等函數(shù)的函數(shù)值時(shí)，是通過寫入“泰勒展開式”程序的芯片完成的．“泰勒展開式”是：如果函數(shù)在含有的某個(gè)開區(qū)間內(nèi)可以多次進(jìn)行求導(dǎo)數(shù)運(yùn)算，則當(dāng)，且時(shí)，有．其中是的導(dǎo)數(shù)，是的導(dǎo)數(shù)，是的導(dǎo)數(shù)，階乘，．取，則的“泰勒展開式”中第三個(gè)非零項(xiàng)為______，精確到0.01的近似值為______．【答案】 ①. ②. 0.84【解析】【分析】根據(jù)泰勒展開式，化簡得到，求得的“泰勒展開式”中第三個(gè)非零項(xiàng)，令，代入上式，進(jìn)而求得的近似值．【詳解】根據(jù)題意，，取時(shí)，可得，則，所以的“泰勒展開式”中第三個(gè)非零項(xiàng)為，令，代入上式可得．故答案為：；0.84四、解答題：15. 已知數(shù)列的首項(xiàng)為，且滿足.（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）設(shè)，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求，并證明：.【答案】（1）證明見解析 （2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的定義證明；（2）由錯(cuò)位相減法求得和，再由分離出，證明恒成立即得證．【小問1詳解】由得??又，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列.【小問2詳解】由（1）的結(jié)論有?????????①??②①②得：因?yàn)椋院愠闪?6. 已知函數(shù)．（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，證明：當(dāng)時(shí)，恒成立．【答案】（1）見解析 （2）見解析【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，含參分類討論得出導(dǎo)函數(shù)的符號，從而得出原函數(shù)的單調(diào)性；（2）先根據(jù)題設(shè)條件將問題可轉(zhuǎn)化成證明當(dāng)時(shí)，即可.【小問1詳解】定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.綜上所述，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為；時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.【小問2詳解】，且時(shí)，，令，下證即可.，再令，則，顯然在上遞增，則，即在上遞增，故，即在上單調(diào)遞增，故，問題得證17. 某學(xué)校為了解本學(xué)期學(xué)生參加公益勞動(dòng)情況，從學(xué)校內(nèi)隨機(jī)抽取了500名高中學(xué)生進(jìn)行在線調(diào)查，收集了他們參加公益勞動(dòng)時(shí)間（單位:小時(shí)）分配情況等數(shù)據(jù)，并將樣本數(shù)據(jù)分成，，九組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.（1）為進(jìn)一步了解這500名學(xué)生參加公益勞動(dòng)時(shí)間的分配情況，從參加公益勞動(dòng)時(shí)間在三組內(nèi)的學(xué)生中，采用分層抽樣的方法抽取了10人，現(xiàn)從這10人中隨機(jī)抽取3人.記參加公益勞動(dòng)時(shí)間在內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為，求的分布列和期望；（2）以調(diào)查結(jié)果的頻率估計(jì)概率，從該學(xué)校所有高中學(xué)生中隨機(jī)抽取20名學(xué)生，用“”表示這20名學(xué)生中恰有名學(xué)生參加公益勞動(dòng)時(shí)間在]（單位:小時(shí)）內(nèi)的概率，其中.當(dāng)最大時(shí)，寫出的值.【答案】（1）分布列見解析，期望為 （2）【解析】【分析】（1）由頻率分布直方圖列出方程，求出的值，由頻率分布直方圖求出這500名學(xué)生中參加公益勞動(dòng)時(shí)間在，，三組內(nèi)的學(xué)生人數(shù)分別為50人，40人，10人，采用分層抽樣的方法抽取了10人，則從參加公益勞動(dòng)時(shí)間在內(nèi)的學(xué)生中抽取4人，現(xiàn)從這10人中隨機(jī)抽取3人，則的可能取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出的分布列，由分布列即可計(jì)算期望；（2）根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式得到不等式組，解得的取值范圍，即可得解.【小問1詳解】由頻率分布直方圖得:解得這500名學(xué)生中參加公益勞動(dòng)時(shí)間在三組內(nèi)的學(xué)生人數(shù)分別為:人，人，人，若采用分層抽樣的方法抽取了10人，則從參加公益勞動(dòng)時(shí)間在14，16內(nèi)的學(xué)生中抽取:人， 現(xiàn)從這10人中隨機(jī)抽取3人，則可能取值為0，1，2，3，的分布列為:0123則其期望為【小問2詳解】由（1）可知參加公益勞動(dòng)時(shí)間在的概率所以依題意，即，即，解得因?yàn)闉榉秦?fù)整數(shù)，所以，即當(dāng)最大時(shí)，18. 已知函數(shù).（1）若函數(shù)在上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，①求實(shí)數(shù)的取值范圍；②求證：.【答案】（1） （2）①；②證明見解析【解析】【分析】（1）依題意在上恒成立，參變分離可得在上恒成立，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；（2）①求出函數(shù)的定義域與導(dǎo)函數(shù)，分、兩種情況說明函數(shù)的單調(diào)性，即可求出參數(shù)的取值范圍；②利用韋達(dá)定理得到兩極值點(diǎn)的和與積，然后得到兩極值的和關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，將要證不等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在定理研究最值，從而證明原不等式.【小問1詳解】因?yàn)榈亩x域?yàn)?，又，依題意在上恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，所以，即的取值范圍為.【小問2詳解】①函數(shù)的定義域?yàn)?，且?若，即，則，此時(shí)的單調(diào)減區(qū)間為，不符合題意；若時(shí)，時(shí)，時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，此時(shí)只有一個(gè)極值點(diǎn)，不符合題意；若時(shí)，關(guān)于的方程有兩不相等實(shí)數(shù)根，，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，此時(shí)只有一個(gè)極值點(diǎn)，不符合題意；若，即，則的兩根為，所以當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以的單調(diào)減區(qū)間為，，單調(diào)增區(qū)間為，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，；②由①可知當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，且，．因?yàn)?，要證，只需證，令，，則，所以在上單調(diào)遞增，又，，且在定義域上連續(xù)，由零點(diǎn)存在定理，可知在上有唯一實(shí)根，且當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，所以的最小值為，又，因?yàn)椋?dāng)時(shí)，，又，所以，所以恒成立，所以，所以.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明或判定不等式問題：1．通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值（最值），從而得出不等關(guān)系；2．利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，從而判定不等關(guān)系；3．適當(dāng)放縮構(gòu)造法：根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮或利用常見放縮結(jié)論，從而判定不等關(guān)系；4．構(gòu)造“形似”函數(shù)，變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).19. 為應(yīng)對新一代小型無人機(jī)武器，某研發(fā)部門開發(fā)了甲、乙兩種不同的防御武器，現(xiàn)對兩種武器的防御效果進(jìn)行測試.每次測試都是由一種武器向目標(biāo)無人機(jī)發(fā)動(dòng)三次攻擊，每次攻擊擊中目標(biāo)與否相互獨(dú)立，每次測試都會使用性能一樣的全新無人機(jī).對于甲種武器，每次攻擊擊中目標(biāo)無人機(jī)的概率均為，且擊中一次目標(biāo)無人機(jī)墜毀的概率為，擊中兩次目標(biāo)無人機(jī)必墜毀；對于乙種武器，每次攻擊擊中目標(biāo)無人機(jī)的概率均為，且擊中一次目標(biāo)無人機(jī)墜毀的概率為，擊中兩次目標(biāo)無人機(jī)墜毀的概率為，擊中三次目標(biāo)無人機(jī)必墜毀.（1）若，分別使用甲、乙兩種武器進(jìn)行一次測試.①求甲種武器使目標(biāo)無人機(jī)墜毀的概率；②記甲、乙兩種武器使目標(biāo)無人機(jī)墜毀的數(shù)量為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.（2）若，且，試判斷在一次測試中選用甲種武器還是乙種武器使得目標(biāo)無人機(jī)墜毀的概率更大？并說明理由.【答案】（1）①；②分布列見解析， （2）使用乙種武器使得目標(biāo)無人機(jī)墜毀的概率更大，理由見解析【解析】【分析】（1）首先確定，，①再根據(jù)題意和甲種武器擊中目標(biāo)的次數(shù)，確定概率；②首先確定，分別根據(jù)甲和乙兩種武器使目標(biāo)無人機(jī)墜毀的概率，確定分布列中的概率，再計(jì)算期望；（2）分別用概率表示甲和乙使無人機(jī)墜毀的概率，再利用導(dǎo)數(shù)比較大小，即可求解.【小問1詳解】因?yàn)槊看螠y試都是由一種武器向目標(biāo)無人機(jī)發(fā)動(dòng)三次攻擊，每次攻擊擊中目標(biāo)無人機(jī)與否相互獨(dú)立，在一次測試中，用、分別表示甲、乙兩種武器命中目標(biāo)無人機(jī)的次數(shù)，則，，記事件為“在一次測試中，使用甲種武器使目標(biāo)無人機(jī)墜毀”，，所有可能的取值為，記事件為“在一次測試中，使用乙種武器使目標(biāo)無人機(jī)墜毀”，，，，，所以的分布列如下：故.小問2詳解】記事件為“使用甲種武器使得目標(biāo)無人機(jī)墜毀”，事件為“使用乙種武器使得目標(biāo)無人機(jī)墜毀”，則，，因?yàn)?，所以，則，令，則，令，即，則，得，又，所以恒成立，所以在上單調(diào)遞增，又，則，故，即，所以使用乙種武器使得目標(biāo)無人機(jī)墜毀的概率更大.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是理解題意，理解墜毀與擊中的關(guān)系，以及理解每種武器擊中次數(shù)滿足二項(xiàng)分布.。
