河南省鄭州市2023～2024學(xué)年高三數(shù)學(xué)下學(xué)期5月月考試題[含答案]

２０２４學(xué)年鄭州市高三下學(xué)期5月月考數(shù) 學(xué)注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)在答題卡上填寫(xiě)清楚2.每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)在試題卷上作答無(wú)效3.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知為兩條直線，為兩個(gè)平面，，則是的（????）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件2.早在西元前6世紀(jì)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派已經(jīng)知道算術(shù)中項(xiàng)，幾何中項(xiàng)以及調(diào)和中項(xiàng)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派哲學(xué)家阿契塔在《論音樂(lè)》中定義了上述三類(lèi)中項(xiàng)，其中算術(shù)中項(xiàng)，幾何中項(xiàng)的定義與今天大致相同.若，則的最小值為（????）A. B. C. D.3.已知，為兩個(gè)隨機(jī)事件，，，，，則（????）A.0.1 B. C.0.33 D.4.某地計(jì)劃對(duì)如圖所示的半徑為的直角扇形區(qū)域按以下方案進(jìn)行擴(kuò)建改造，在扇形內(nèi)取一點(diǎn)使得，以為半徑作扇形，且滿足，其中，，則圖中陰影部分的面積取最小值時(shí)的大小為（????）A. B. C. D.5.在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若，且，則的值為（????）A. B. C. D.6.已知復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則的最大值為（????）A.1 B.2 C.3 D.47.在正方體中，E為BD的中點(diǎn)，則直線與所成角的余弦值為（????）A.0 B. C. D.8.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（????）A.6 B.9 C.11 D.14二、多項(xiàng)選擇題：本題共３小題，每小題６分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，有選錯(cuò)的得0分，若只有2個(gè)正確選項(xiàng)，每選對(duì)1個(gè)得3分；若只有3個(gè)正確選項(xiàng)，每選對(duì)1個(gè)得2分.9.下列說(shuō)法正確的是（??）A.“”是“”的既不充分也不必要條件B.命題“，”的否定是“，”C.若，則D.的最大值為10.已知函數(shù)，，且有兩個(gè)零點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（????）A.當(dāng)時(shí)， B.C.若，則 D.11.已知，，其中，.若，則（????）A. B.C. D.三、填空題：本大題共3個(gè)小題，每小題5分，共15分.12.若定義在上的函數(shù)滿足是奇函數(shù)，，，則.13.在平面直角坐標(biāo)系中，角的終邊與單位圓的交點(diǎn)分別為，若直線 的傾斜角為，則______.14.已知雙曲線的一條漸近線平行于直線，且雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)在直線上，則該雙曲線的方程為.四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.（13分）歐拉函數(shù)的函數(shù)值等于所有不超過(guò)正整數(shù)且與互素的正整數(shù)的個(gè)數(shù)，例如：，，，數(shù)列滿足.(1)求，，，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記，求數(shù)列的前和.16.（15分）如圖，在圓錐中，是圓錐的頂點(diǎn)，是圓錐底面圓的圓心，是圓錐底面圓的直徑，等邊三角形是圓錐底面圓的內(nèi)接三角形，是圓錐母線的中點(diǎn)，.(1)求證：平面平面；(2)設(shè)點(diǎn)在線段上，且，求直線與平面所成角的正弦值.17.（15分）隨著互聯(lián)網(wǎng)的普及，大數(shù)據(jù)的驅(qū)動(dòng)，線上線下相結(jié)合的新零售時(shí)代已全面開(kāi)啟，新零售背景下，即時(shí)配送行業(yè)穩(wěn)定快速增長(zhǎng).某即時(shí)配送公司為更好地了解客戶需求，優(yōu)化自身服務(wù)，提高客戶滿意度，在其兩個(gè)分公司的客戶中各隨機(jī)抽取10位客戶進(jìn)行了滿意度評(píng)分調(diào)查（滿分100分），評(píng)分結(jié)果如下：分公司A：66，80，72，79，80，78，87，86，91，91.分公司B：62，77，82，70，73，86，85，94，92，89.(1)求抽取的這20位客戶評(píng)分的第一四分位數(shù)；(2)規(guī)定評(píng)分在75分以下的為不滿意，從上述不滿意的客戶中隨機(jī)抽取3人繼續(xù)溝通不滿意的原因及改進(jìn)建議，設(shè)被抽到的3人中分公司的客戶人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.18.（17分）在直角坐標(biāo)系中，設(shè)為拋物線：的焦點(diǎn)，為上位于第一象限內(nèi)一點(diǎn).當(dāng)時(shí)，的面積為1.(1)求的方程；(2)當(dāng)時(shí)，如果直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，直線，的斜率滿足，試探究點(diǎn)到直線的距離的最大值.19.（17分）在函數(shù)極限的運(yùn)算過(guò)程中，洛必達(dá)法則是解決未定式型或型極限的一種重要方法，其含義為：若函數(shù)和滿足下列條件：①且（或，）；②在點(diǎn)的附近區(qū)域內(nèi)兩者都可導(dǎo)，且；③（可為實(shí)數(shù)，也可為），則.(1)用洛必達(dá)法則求；(2)函數(shù)（，），判斷并說(shuō)明的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；(3)已知，，，求的解析式.參考公式：，.參考答案一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.【答案】A【解析】若，因?yàn)?，所以，即由可以得到，若，如圖，在正方體中，取平面為平面，平面為平面， 取為直線，為直線，顯然有，，但與不垂直，即由得不到，故選：A.2.【答案】D【解析】不妨設(shè)，，則，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，（）所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，故選：D.3.【答案】B【解析】，所以，，所以，所以，即，所以，即，解得，故選：B.4.【答案】A【解析】由題意知，則圖中陰影部分的面積，因?yàn)?，，所以，所以，令，則，由，得，因?yàn)?，所以，令，得，所以，所以，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，最小，即圖中陰影部分的面積取最小值.故選：A.5.【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，即，因?yàn)?，則，且余弦函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，所以，又，所以，由正弦定理得，即，所以.故選：B.6.【答案】C【解析】設(shè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，由題意可得：，表示復(fù)平面中點(diǎn)到定點(diǎn)的距離為1，所以點(diǎn)的軌跡為以為圓心，半徑的圓，因?yàn)楸硎颈硎緩?fù)平面中點(diǎn)到定點(diǎn)的距離，所以，即的最大值為3.故選：C.7.【答案】D【解析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，則，則直線與所成角的余弦值為，故選：D8.【答案】B【解析】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，由，則有，解得，所以等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為，故.故選：B.二、多項(xiàng)選擇題：本題共３小題，每小題６分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，有選錯(cuò)的得0分，若只有2個(gè)正確選項(xiàng)，每選對(duì)1個(gè)得3分；若只有3個(gè)正確選項(xiàng)，每選對(duì)1個(gè)得2分.9.【答案】AD【解析】對(duì)于A，“若，則”是假命題，因?yàn)椋?；“若，則”是假命題，因?yàn)椋?，即“”是“”的既不充分也不必要條件，A正確；對(duì)于B，命題“，”是全稱(chēng)量詞命題，其否定是存在量詞命題，因此它的否定是“，”，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，成立，因此成立，不一定有，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，函數(shù)的定義域?yàn)椋?，而函?shù)在上單調(diào)遞增，因此當(dāng)時(shí)，，D正確.故選AD.10.【答案】ACD【解析】A選項(xiàng)，設(shè)，作出單位圓，與軸交于點(diǎn)，則，過(guò)點(diǎn)作垂直于軸，交射線于點(diǎn)，連接，由三角函數(shù)定義可知，，設(shè)扇形的面積為，則，即，故，當(dāng)時(shí)，有不等式，A正確；B選項(xiàng)，畫(huà)出，，且與的函數(shù)圖象，如下：可以看出，，故，B不正確；C選項(xiàng)，的最小正周期為，由圖象可知，故，C正確；D選項(xiàng)，由，，因?yàn)?，，故，而，但，且在為增函?shù)，故，故，D正確.故選：ACD.11.【答案】AB【解析】二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)為（且），，所以，，因?yàn)?，所以，解得（舍去）或，故A正確；由，令可得，故B正確；由，令可得，令可得，所以，故C錯(cuò)誤；將兩邊對(duì)求導(dǎo)可得，，令可得，故D錯(cuò)誤.故選：AB三、填空題：本大題共3個(gè)小題，每小題5分，共15分.12.【答案】【解析】因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，用替換上式中的，可得，在中，用替換，可得，所以，用替換該式中的，可得，所以，所以函數(shù)的周期為，在中，令，得，在中，令，得，在中，令，得，所以，所以.故答案為：.13.【答案】/【解析】由題意得，點(diǎn)，，所以直線的斜率，所以，即，所以或者，當(dāng)時(shí)，可得，此時(shí)點(diǎn)重合，不合題意，當(dāng)時(shí)，即，可得.故答案為：.14.【答案】【解析】因?yàn)殡p曲線的一個(gè)焦點(diǎn)在直線上，令，則，故雙曲線的右焦點(diǎn)為，所以，所以，①又因?yàn)殡p曲線的一條漸近線平行于直線，所以，②由①②解得，所以，雙曲線的方程為：.故答案為：四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.（13分）【答案】(1)，，，(2)【解析】（1）由題意可知，，，由題意可知，正偶數(shù)與不互素，所有正奇數(shù)與互素，比小的正奇數(shù)有個(gè)，所以；（2）由（1）知，所以，所以 ，，所以，① ，②所以①－②得，所以.16.（15分）【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【解析】（1）如圖，設(shè)交于點(diǎn)，連接，在圓錐中，底面圓，所以，又等邊三角形是圓錐底面圓的內(nèi)接三角形，為直徑，所以，所以，所以，可知，即是的中點(diǎn)，又是母線的中點(diǎn)，所以，所以平面，又平面，所以平面平面；??（2）由（1）平面，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸?軸?軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，??在等腰三角形中，又，所以，所以，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，即，設(shè)直線與平面所成的角為，則.17.（15分）【答案】(1)(2)，分布列見(jiàn)解析【解析】（1）將抽取的這20位客戶的評(píng)分從小到大排列為：62，66，70，72，73，77，78，79，80，80，82，85，86，86，87，89，91，91，92，94.因?yàn)?，所以抽取的這20位客戶評(píng)分的第一四分位數(shù)為.（2）由已知得分公司中75分以下的有66分，72分；分公司中75分以下的有62分，70分，73分，所以上述不滿意的客戶共5人，其中分公司中2人，分公司中3人，所以的所有可能取值為1，2，3.，所以的分布列為123數(shù)學(xué)期望.18.（17分）【答案】(1)(2)【解析】（1）由題意得，由，，即，從而的面積，則，所以，拋物線的方程為；（2）設(shè)（），則，，由，得，即，所以，此時(shí)，由題意可知，斜率必不等于0，于是可設(shè)：，由，可得，上述方程的判別式滿足，即，設(shè)，，根據(jù)韋達(dá)定理有：，，因?yàn)?，所以，，于是，所以，，即，故直線的方程為，即，所以直線恒過(guò)定點(diǎn)，則當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到直線的距離有最大值，且最大值為.19.（17分）【答案】(1)(2)僅在時(shí)存在1個(gè)零點(diǎn)，理由見(jiàn)解析(3)【解析】（1）（2），，所以，.當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，，當(dāng)時(shí)，，所以?xún)H在時(shí)存在1個(gè)零點(diǎn).（3），所以，，…，將各式相乘得，兩側(cè)同時(shí)運(yùn)算極限，所以，即，令，原式可化為，又，由（1）得，故，由題意函數(shù)的定義域?yàn)?，綜上，。