廣東省高州市2023～2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題[含答案]

2024年高一第二學(xué)期期中測(cè)試卷數(shù)學(xué)全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘注意事項(xiàng)：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置2．請(qǐng)按題號(hào)順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，寫(xiě)在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效3．選擇題用鉛筆在答題卡上把所選答案的標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上作答；字體工整，筆跡清楚4．考試結(jié)束后，請(qǐng)將試卷和答題卡一并上交5．本卷主要考查內(nèi)容：必修第二冊(cè)第六章～第八章一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．（ ）A． B． C． D．2．如果一架飛機(jī)向西飛行，再向東飛行，記飛機(jī)飛行的路程為，位移為，那么（ ）A． B． C． D．3．如果表示平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底，那么下列四組向量，不能作為一個(gè)基底的是（ ）A．， B．，C．， D．，4．已知水平放置的的直觀圖如圖所示，，，則邊上的中線的實(shí)際長(zhǎng)度為（ ）A．4 B． C． D．55．如圖，有一古塔，在點(diǎn)測(cè)得塔底位于北偏東方向上的點(diǎn)處，在點(diǎn)測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?，在的正東方向且距點(diǎn)的點(diǎn)測(cè)得塔底位于西偏北方向上（在同一水平面），則塔的高度約為（ ）A． B． C． D．6．若圓臺(tái)的高是，一個(gè)底面半徑是另一個(gè)底面半徑的2倍，母線與下底面所成角的大小為，則這個(gè)圓臺(tái)的側(cè)面積是（ ）A． B． C． D．7．如圖，在中，點(diǎn)在所在平面外，點(diǎn)是點(diǎn)在平面上的射影，且點(diǎn)在的內(nèi)部．若，，兩兩垂直，那么點(diǎn)是的（ ）A．外心 B．內(nèi)心 C．垂心 D．重心8．已知是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，為圓的直徑，若點(diǎn)為圓上一動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍為（ ）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知復(fù)數(shù)滿足，則（ ）A．的實(shí)部是3 B． C． D．10．在下列情況的三角形中，有兩個(gè)解的是（ ）A．，， B．，，C．，， D．，，11．《九章算術(shù)》里說(shuō)：“斜解立方，得兩塹堵，斜解塹堵，其一為陽(yáng)馬，一為鱉臑”．如圖，底面是直角三角形的直三棱柱稱為“塹堵”，沿截面將一個(gè)“塹堵”截成兩部分，其三棱錐稱為“鱉臑”．在鱉臑中，，，其外接球的表面積為，當(dāng)此鱉臑的體積最大時(shí)，下列結(jié)論正確的是（ ）A．B．此鱉臑的體積的最大值為C．直線與平面所成角的余弦值為D．三棱錐的內(nèi)切球的半徑為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則________．13．已知向量，滿足，，，則，的夾角的大小為_(kāi)_______．14．在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，已知，若為的面積，則的最大值為_(kāi)_______．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及演算步驟．15．（本小題滿分13分）設(shè)是實(shí)數(shù)，復(fù)數(shù)，（i是虛數(shù)單位）．（1）若在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，求的取值范圍；（2）求的最小值．16．（本小題滿分15分）在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，且的面積為．（1）求角的大??；（2）若是的一條中線，求線段的長(zhǎng)．17．（本小題滿分15分）如圖（1），在直角梯形中，，，，是的中點(diǎn)，，分別為，的中點(diǎn)，將沿折起得到四棱錐，如圖（2）．（1）在圖（2）中，求證：；（2）在圖（2）中，為線段上任意一點(diǎn)，若平面，請(qǐng)確定點(diǎn)的位置．圖（1） 圖（2）18．（本小題滿分17分）已知在銳角中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，且．（1）求角的大小；（2）當(dāng)時(shí)，求的取值范圍．19．（本小題滿分17分）如圖，在三棱柱中，側(cè)面為矩形．（1）設(shè)為中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且，求證：平面；（2）若二面角的大小為，且，求直線和平面所成角的正弦值．2024年高一第二學(xué)期期中測(cè)試卷·數(shù)學(xué)參考答案、提示及評(píng)分細(xì)則1．B．故選B．2．A如果一架飛機(jī)向西飛行，再向東飛行，記飛機(jī)飛行的路程為，，所以．故選A．3．C根據(jù)平面基底的定義知，向量，為不共線非零向量，即不存在實(shí)數(shù)，使得，對(duì)于A中，向量和，不存在實(shí)數(shù)，使得，可以作為一個(gè)基底；對(duì)于B中，向量和，假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得，可得此時(shí)方程組無(wú)解，所以和可以作為基底；對(duì)于C中，向量和，假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得，可得解得，所以和不可以作為基底；對(duì)于D中，向量和，假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得，可得此時(shí)方程組無(wú)解，所以和可以作為基底．故選C．4．D的實(shí)際圖形應(yīng)是直角三角形，兩條直角邊長(zhǎng)分別是8和6，斜邊上的中線長(zhǎng)度為5．故選D．5．B如圖，根據(jù)題意，平面，，，，．在中，因?yàn)?，所以，解得．在中，．故選B．6．A由題意，可作該圓臺(tái)的軸截面，如圖所示：則圓臺(tái)的高，上底面半徑，下底面半徑，即，母線，即，在中，，，，易知在正方形中，，則，即，綜上，，，，，圓臺(tái)的側(cè)面積．故選A．7．C連接，，，，，、平面，，平面，平面，．由題意，平面，平面，，又，平面，平面，平面，，同理可證，，點(diǎn)是的垂心．故選C．8．D如圖所示，，由圖象可知，與夾角的范圍為，所以，所以，．故選D．9．ABC，據(jù)此可判斷：A項(xiàng)，的實(shí)部為3，故A項(xiàng)正確；B項(xiàng)，，故，故B項(xiàng)正確；C項(xiàng)，，故C項(xiàng)正確；D項(xiàng)，，故D項(xiàng)錯(cuò)誤，故選ABC．10．AD對(duì)于A，，，所以有兩解，故正確；對(duì)于B，，所以有一解，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，，，．只有一解，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，，有兩解，故D正確．故選AD．11．BC由題可知，的中點(diǎn)即為的外接球的球心，設(shè)外接球的半徑為，則，得，因?yàn)?，所以，鱉臑的體積，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，故A項(xiàng)錯(cuò)誤，B項(xiàng)正確；因?yàn)槿庵鶠橹比庵势矫?，所以直線與平面所成的角即為，；故C項(xiàng)正確；設(shè)鱉臑的內(nèi)切球半徑為，由等體積法，得，所以，故D項(xiàng)錯(cuò)誤．故選BC．12．因?yàn)閺?fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，所以，所以，則．13．，，，，，，，．14．由題設(shè)及正弦定理邊角關(guān)系得，即，而，故，又，則，故，而，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故的最大值為．15．解：（1），則解得；（2），則，，，當(dāng)時(shí)，的最小值為．16．解：（1）因?yàn)椋?，所以，所以，又，所以；?）因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，所以，所以．17．（1）證明：在中，，分別是，的中點(diǎn)，，，，，平面，平面，平面，平面，；（2）解：為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，，又，，平面，平面，平面，平面，，平面，，平面平面，平面，平面，平面平面，，，為的中點(diǎn)．18．解：（1）由正弦定理及余弦定理，化簡(jiǎn)，可得，，為銳角，；（2）由正弦定理，得，，，，由可得，，．．19．（1）證明：連接交于，連接，因?yàn)閭?cè)面為矩形，所以，又為中點(diǎn)，所以，又因?yàn)?，所以．所以，又平面平面，所以平面；?）解：在平面中，過(guò)點(diǎn)作射線，因?yàn)榈酌鏋榫匦?，所以，所以為二面角的平面角，且．又，所以平面，在平面中，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，因?yàn)槠矫嫫矫妫?，又平面平面，所以平面，于是為點(diǎn)到平面的距離，且，設(shè)直線和平面所成的角為，則，所以直線和平面所成角的正弦值是．。