線性代數(shù)智能化教系統(tǒng)第4節(jié)

Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,*,*,第,3.4,節(jié) 向量組的秩,向量組等價(jià),定 義,性質(zhì),計(jì)算方法,3.4.1 向量組的等價(jià)關(guān)系,設(shè)有兩個(gè)向量組,A,:,1,2,.,m,示，則稱這兩個(gè)向量組,等價(jià),.,線性表示,.,若向量組,A,與向量組,B,能相互線性表,量組,A,線性表示，則稱,向量組,B,能由向量組,A,及,B,:,1,2,.,s,若,B,組中的每個(gè)向量都能由向,例1,設(shè)有向量組,A,和,B,求證：向量組,A,和向量組,B,等價(jià),向量組之間的等價(jià)關(guān)系具有下面的三條性質(zhì)：,（）反身性：,向量組,A,與向量組,A,自身等價(jià)；,（）對(duì)稱性：,若向量組,A,與向量組,B,等價(jià)，則,向量組,B,與向量組,A,等價(jià)；,（）傳遞性：,若向量組,A,與向量組,B,等價(jià)，向,量組,B,與向量組,C,等價(jià),則向量組,A,與向量組,C,等價(jià),定義3.4.2,設(shè)有向量組,A,如果,A,的一個(gè)部分,含向量個(gè)數(shù),r,稱為,向量組的秩,.,極大無(wú)關(guān)組所,無(wú)關(guān)向量組,(簡(jiǎn)稱,極大無(wú)關(guān)組,),;,合，那么稱部分向量組,A,0,是,A,的一個(gè),極大線性,(ii),向量組,A,中每一個(gè)向量都是,A,0,的線性組,(i),向量組,A,0,線性無(wú)關(guān);,向量組,A,0,滿足：,3.4.2 定義,例2,設(shè)有向量組,A,求向量組,A,的極大無(wú)關(guān)組和秩,例3,設(shè)有向量組,A,求向量組,A,的極大無(wú)關(guān)組和秩,上面兩個(gè)例子說(shuō)明，一個(gè)向量組的極大無(wú)關(guān)組,可能不是唯一的，,但極大無(wú)關(guān)組中所包含的向量個(gè),卻是相同,有如下定理,對(duì)一個(gè),向量組，其所有極大無(wú)關(guān),組所含向量的個(gè)數(shù)都相同,從定理3.4.1可得到以下推論：,3.4.3 性質(zhì),推論3.4.3,等價(jià)的向量組有相同的秩,推論3.4.1,若,向量組,A,能由向量組,B,線性,表示，則向量組,A,的秩不大于向量組,B,的秩,推論3.4.2,兩個(gè)等價(jià)的線性無(wú)關(guān)向量組所包,含向量個(gè)數(shù)一定相等,對(duì)于一個(gè)向量組，一般情況下如何求它的秩和,極大無(wú)關(guān)組呢？,下面來(lái)討論這個(gè)問(wèn)題,例4,考慮構(gòu)成上三角形矩陣,的,n,個(gè)列向量所構(gòu)成的向量組的秩,由于,R,(,A,)=,n,，所以這,n,個(gè)列向量是線性無(wú)關(guān),的，故這向量組的秩為,n,例5,考慮構(gòu)成下列階梯形矩陣,的6個(gè)列向量（,a,11,a,23,a,34,a,46,不為零）,顯然，列向量組,是線性無(wú)關(guān)的，而若再加上一個(gè)向量就是線性相,關(guān)的，,因此這6個(gè)列向量構(gòu)成的向量組的秩為4，,也是就是矩陣,A,的秩，而極大無(wú)關(guān)組就是上述,列向量組,上例的結(jié)論對(duì)于一般的階梯形矩陣是成立的，,當(dāng)矩陣不是階梯形矩陣時(shí)，又如何求呢？,我們知,道任何一個(gè)矩陣都可以通過(guò)初等行變換化為階梯,形矩陣,因此，有下列結(jié)論,列向量組通過(guò)初等行變換不改變,線性相關(guān)性,至此，我們一方面知道可以用初等行變換來(lái)求,列向量組的秩和極大無(wú)關(guān)組，,另一方面又對(duì)矩陣,秩有了新的了解，,即矩陣秩就是列向量組中極大無(wú),關(guān)組的個(gè)數(shù),矩陣,A,的秩=矩陣,A,的列向量組,的秩=矩陣,A,的行向量組的秩,又知,R,(,A,)=,R,(,A,T,)，因此有,3.4.4 向量組的極大無(wú)關(guān)組的求法,前面的討論為我們提供了一個(gè)求向量組的秩、,極大無(wú)關(guān)組并用極大無(wú)關(guān)組表示其余向量的有效,方法，,這個(gè)方法的步驟如下：,Step1,把向量組中的每個(gè)向量作為矩陣的一列,構(gòu)造一個(gè)矩陣；,Step2,對(duì)所作的矩陣施行初等行變換，直至化,為行最簡(jiǎn)形矩陣；,Step3,在所得的行最簡(jiǎn)形矩陣中，每個(gè)非零行,的第一個(gè)非零元所在的列對(duì)應(yīng)的向量構(gòu)成一個(gè)極大,無(wú)關(guān)組，不在極大無(wú)關(guān)組中的列上的元素即為用極,大無(wú)關(guān)組表示該列所在的向量的表示系數(shù),下面的例子都要用這種方法,例6,設(shè),試求向量組,1,2,3,4,5,的秩及其一個(gè)極大無(wú)關(guān),組，并將其余向量用這個(gè)極大無(wú)關(guān)組線性表示,解,例7,設(shè),求矩陣,A,的列向量組的秩及其一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，,并將其余向量用這個(gè)極大無(wú)關(guān)組線性表示,解,例8,設(shè),證明向量組,1,2,與,1,2,3,等價(jià),由極大無(wú)關(guān)組的定義可知，向量組中每一個(gè)向,量都可由極大無(wú)關(guān)組表出，,例6和例7對(duì)這一事實(shí),進(jìn)行了驗(yàn)證,下面的定理說(shuō)明，這種表示式還是唯,一的,向量組中每一個(gè)向量由極大無(wú)關(guān)組,的向量線性表出的表達(dá)式是唯一確定的,。