安徽省亳州市2023～2024學年高一數(shù)學下學期期中檢測B卷[含答案]

2023~2024學年度高一數(shù)學下期中檢測卷卷（B）考試時間120分鐘 試卷滿分考生注意：1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時間120分鐘.2.答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項目填寫清楚.3.考生作答時，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.4.本卷命題范圍：（必修第二冊第6—9章）人教A版2019一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1. 已知復數(shù)滿足，則復數(shù)在復平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】利用復數(shù)除法求出復數(shù)，再求出即可得解.【詳解】依題意，，所以在復平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第四象限.故選：D2. 總體由編號為01，02，…，19，20的20個個體組成.利用下面的隨機數(shù)表選取7個個體，選取方法是從隨機數(shù)表第1行的第3列和第4列數(shù)字開始由左到右依次選取兩個數(shù)字，則選出來的第6個個體的編號為 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481A. 02 B. 07 C. 01 D. 06【答案】C【解析】【分析】根據(jù)隨機數(shù)表，依次進行選擇即可得到結(jié)論．【詳解】選取方法是從隨機數(shù)表第1行的第3列和第4列數(shù)字開始由左到右依次選取兩個數(shù)字中小于20的編號依次為16，08，02，14，07，01，則第6個個體的編號為01．故選：C．【點睛】本題主要考查簡單隨機抽樣的應(yīng)用，正確理解隨機數(shù)法是解決本題的關(guān)鍵，比較基礎(chǔ)．3. 如圖，一個平面圖形的斜二測畫法的直觀圖是一個邊長為的正方形，則原平面圖形的周長為（ ）A. 4a B. 8a C. 6a D. 【答案】B【解析】【分析】由直觀圖還原可得原圖形，結(jié)合斜二測畫法求邊長，再求其周長即可.【詳解】由直觀圖可得原圖形，所以，，，所以，原圖形的周長為.故選：B.4. 已知、m為兩條不同的直線，、為兩個不同的平面，則下列命題正確的是（ ）.A. 若，，則B. 若，，則C. 若，，，，則D. 若，，，則【答案】A【解析】【分析】根據(jù)直線與平面，平面與平面的位置關(guān)系，對選項逐一分析判斷，選出正確的命題即可.【詳解】對于選項A，因為，則垂直平面內(nèi)任意一條線，又，所以，所以，則有，所以選項A正確；對于選項B，當，時，有或，所以選項B錯誤；對于選項C，當，，，時，與可以相交，所以選項C錯誤；對于選項D，若，，時，有或與異面，所以選項D錯誤.故選：A.5. 已知向量和滿足，，，則向量在向量上的投影向量為（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先求出向量，夾角的余弦值，然后利用求解投影向量的方法求解即可.【詳解】因為，所以，又，，所以，得到，所以，設(shè)與的夾角為，則，所以在上的投影向量為：，故選：D.6. 如圖，一種工業(yè)部件是由一個圓臺挖去一個圓錐所制成的.已知圓臺的上、下底面半徑分別為和，且圓臺的母線與底面所成的角為，圓錐的底面是圓臺的上底面，頂點在圓臺的下底面上，則該工業(yè)部件的體積為（ ） A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由題知該圓臺的軸截面為等腰梯形，進而得，圓臺，圓錐的高均為，再計算體積即可.【詳解】解：根據(jù)題意，該圓臺的軸截面為等腰梯形，如圖， 所以即為圓臺母線與底面所成角，即，分別過點、在平面內(nèi)作，，垂足分別為點、，因為，則四邊形為矩形，且，因為，，，所以，，所以，，且，因為，則，所以，圓臺，圓錐的高均為，所以，該工業(yè)部件的體積為.故選：B.7. 圣·索菲亞教堂（英語： SAINTSOPHIA CATHEDRAL）坐落于中國黑龍江省，是一座始建于1907年拜占庭風格的東正教教堂，為哈爾濱的標志性建筑，被列為第四批全國重點文物保護單位. 其中央主體建筑集球、圓柱、棱柱于一體，極具對稱之美，可以讓游客從任何角度都能領(lǐng)略它的美，小明同學為了估算索菲亞教堂的高度，在索非亞教堂的正東方向找到一座建筑物AB，高為m，在它們之間的地面上的點M（B，M，D三點共線）處測得樓頂A教堂頂C的仰角分別是和，在樓頂A處測得塔頂C的仰角為，則小明估算索菲亞教堂的高度為（ ）A. 20m B. 30m C. m D. m【答案】D【解析】【分析】在在中，求出，在中，利用正弦定理求出，再解即可得解.【詳解】由題意可知，在中，，則，所以，中，，則，由正弦定理得，所以，在中，，則，所以，所以小明估算索菲亞教堂的高度為.故選：D.8. 已知，，，為球面上四點，，分別是，的中點，以為直徑的球稱為，的“伴隨球”，若三棱錐的四個頂點在表面積為的球面上，它的兩條邊，的長度分別為和，則，的伴隨球的體積的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由已知求出三棱錐的外接球半徑，求出，進一步求出的范圍，從而得出答案即可．【詳解】設(shè)三棱錐外接球的半徑為，則，所以球的半徑為，則球的兩條弦的中點為，則，即弦分別是以為球心，半徑為3和2的球的切線，且弦在以為球心，半徑為2的球的外部，的最大距離為，最小距離為，當三點共線時，分別取最大值與最小值，故的伴隨球半徑分別為，半徑為時，的伴隨球的體積為，當半徑為時，的伴隨球的體積．∴的伴隨球的表面積的取值范圍是．故選：D.【點睛】關(guān)鍵點點睛：由三棱錐的外接球半徑，求出是解題的關(guān)鍵．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9. 設(shè)，為復數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（ ）A. B. C. 若，則 D. 若，則的最大值為3【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)共軛復數(shù)的概念，復數(shù)的模、乘法法則求解判斷ABC，根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷D．【詳解】設(shè)，則，，A正確，而，B錯誤；當時，取任意的復數(shù)，都有，C錯誤；，當時等號成立，D正確，故選：AD．10. 下列命題正確的是（ ）A. 已知，是兩個不共線的向量，，，則與可以作為平面向量的一組基底B. 在中，，，，則這樣的三角形有兩個C. 已知是邊長為2的正三角形，其直觀圖的面積為D. 已知，，若與的夾角為鈍角，則k的取值范圍為【答案】ABC【解析】【分析】由平面向量基底的定義即可判斷A；由余弦定理代入計算，即可判斷B；由原圖形與直觀圖的面積關(guān)系即可判斷C；由平面向量夾角的坐標公式即可判斷D.【詳解】對A，因為，是兩個不共線的向量，且，，設(shè)，則，這樣的不存在，所以與不共線，則與可以作為平面向量的一組基底，故A正確；對B，因為在中，，，，由余弦定理可得，，即，易知且兩根之和，兩根之積都為正，所以方程有兩根，故B正確；對C，因為是邊長為2的正三角形，則，設(shè)其直觀圖的面積為，因為直觀圖的面積與平面圖形的面積比為，即，故C正確；對D，因為，，則，設(shè)與的夾角為，則，且，解得且，故D錯誤；故選：ABC11. 如圖，在底面為平行四邊形的直四棱柱中，，，、分別為棱、的中點，則（ ） A. B. 與平面所成角余弦值為C. 三棱柱的外接球的表面積為D. 點到平面的距離為【答案】AC【解析】【分析】證明出，再結(jié)合可判斷A選項；利用線面角的定義可判斷B選項；求出的外接圓直徑，可求得三棱柱的外接球的直徑為，結(jié)合球體的表面積公式可判斷C選項；利用等體積法可判斷D選項.【詳解】對于A選項，連接、， 因為四邊形為平行四邊形，且，則為菱形，因為，則，且，故為等邊三角形，因為為的中點，則，因為且，則四邊形為平行四邊形，所以，，故，A對；對于B選項，過點在平面內(nèi)作，垂足為點，連接， 因為平面，平面，則，因，，、平面，則平面，所以，與平面所成角為，因為四邊形是邊長為的菱形，且，則，故，由余弦定理可得，因為，則，因為平面，平面，則，所以，，因為平面，平面，則，所以，，所以，，即與平面所成角的余弦值為，B錯；對于C選項，如下圖所示： 圓柱的底面圓直徑為，母線長為，則的中點到圓柱底面圓上每點的距離都相等，則為圓柱的外接球球心.且有，可將直三棱柱置于圓柱內(nèi)，使得、的外接圓分別為圓、圓，如下圖所示： 因為，，則為等邊三角形，故圓的直徑為，所以，三棱柱的外接球的直徑為，所以，三棱柱的外接球的表面積為，C對；對于D選項，連接、，如下圖所示： 因為平面，平面，則，又因為且，則四邊形為矩形，所以，，因為，平面，平面，則平面，所以，點到平面的距離等于，因為點為的中點，則點到平面的距離為，所以，，因為四邊形為矩形，則，因為，，則，同理，在中，，，，由余弦定理可得，因為平面，平面，則，所以，，所以，，則，所以，，設(shè)點到平面的距離為，由，得，所以，，即點到平面的距離為，D錯.故選：AC.【點睛】方法點睛：求空間多面體的外接球半徑的常用方法：①補形法：側(cè)面為直角三角形，或正四面體，或?qū)舛娼蔷嗟鹊哪Ｐ?，可以還原到正方體或長方體中去求解；②利用球的性質(zhì)：幾何體中在不同面均對直角的棱必然是球大圓直徑，也即球的直徑；③定義法：到各個頂點距離均相等的點為外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圓圓心，找其垂線，則球心一定在垂線上；④坐標法：建立空間直角坐標系，設(shè)出外接球球心的坐標，根據(jù)球心到各頂點的距離相等建立方程組，求出球心坐標，利用空間中兩點間的距離公式可求得球的半徑.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12. 如圖，平行四邊形ABCD中，，，M是的中點，以為基底表示向量________ 【答案】【解析】【分析】利用平面向量基本定理即可求得結(jié)果.【詳解】易知，顯然；可得；故答案為：13. 文明城市是反映城市整體文明水平的綜合性榮譽稱號，作為普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要創(chuàng)造者.某市為提高市民對文明城市創(chuàng)建的認識，舉辦了“創(chuàng)建文明城市”知識競賽，從所有答卷中隨機抽取100份作為樣本，將樣本的成績（滿分100分，成績均為不低于40分的整數(shù)）分成六段：，，…，得到如圖所示的頻率分布直方圖.則頻率分布直方圖中的值為_________；樣本成績的第75百分位數(shù)為_________.【答案】 ①. ②. 84【解析】【分析】空1：根據(jù)每組小矩形面積之和為1即可求解；空2：由頻率分布直方圖求百分位數(shù)的計算公式即可求解；【詳解】∵每組小矩形的面積之和為1，∴，∴.成績落在內(nèi)的頻率為，落在內(nèi)的頻率為，設(shè)第75百分位數(shù)為m，由，得，故第75百分位數(shù)為84.故答案為：；84.14. 在棱長為1的正方體中，點是該正方體表面及其內(nèi)部的一個動點，且平面，則線段的長的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】證明平面平面，得點的軌跡，由此可得的最大值為的長，最小值為到平面的距離，求出距離后可得．【詳解】連接，正方體中由與平行且相等得是平行四邊形，從而，又平面，平面，所以平面，同理平面，又，平面，所以平面平面，平面，則平面，所以動點的軌跡形成的區(qū)域為的邊界及內(nèi)部，的最大值為即的長，的最小值為到平面的距離，連接交于點，連接交于點，，由平面，平面，得，又，，平面，所以平面，而平面，所以，同理，又因為，平面，所以平面，同理可證，所以，從而，故線段的長的取值范圍是．故答案為：．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15. 已知平面向量．（1）若，求；（2）若，求向量與的夾角．【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）利用平面向量數(shù)量積公式及模長公式計算即可；（2）根據(jù)平面向量共線的充要條件及夾角的坐標表示計算即可.【小問1詳解】因為，所以即，即，即，所以，所以；【小問2詳解】由題意可得又因，所以，解得，所以所以即又因為，所以16. 已知是復數(shù)，為實數(shù)，為純虛數(shù)（為虛數(shù)單位）.（1）求復數(shù)和；（2）復數(shù)在復平面對應(yīng)的點在直線上，求實數(shù)的值.【答案】（1）， （2）【解析】【分析】（1）用待定系數(shù)法可先設(shè)復數(shù)，然后進行復數(shù)運算，根據(jù)條件即可求出結(jié)果；（2）利用可化簡原式，再進行復數(shù)除法運算，得到復數(shù)復平面上對應(yīng)的點的坐標，再代入直線，即可求出的值.【小問1詳解】設(shè)復數(shù)，，由是實數(shù)，則， 即，所以， 因為為純虛數(shù)，所以且，解得，所以， .【小問2詳解】由（1）知， 在復平面上對應(yīng)的點為， 又已知在復平面上對應(yīng)的點在直線上，則有：，解得：.17. 如圖，在中，，點滿足．（1）若點是線段上一點，且，求實數(shù)的值；（2）若，求的余弦值．【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）結(jié)合圖形以及平面向量的線性運算即可求解；（2）設(shè)，在和中利用正弦定理，建立等量關(guān)系求的余弦值.【小問1詳解】設(shè)，，因為，所以，，又，所以，所以，所以實數(shù)的值為；【小問2詳解】因為，所以，由題意設(shè)，所以，在中，①，在中，②，由①②可得，所以，所以，又，，所以，所以的余弦值為.18. 已知的內(nèi)角所對的邊分別為，且滿足.（1）求角B的大小；（2）若，，點D在邊上，且，求的長.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）利用余弦定理角化邊，最后整理得角即可.（2）利用正弦定理結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求解，再利用余弦定理求解，最后再利用余弦定理求解即可.【小問1詳解】 因為,由余弦定理得，整理可得,所以，又，所以.【小問2詳解】因為所以由正弦定理可得,由,可得A為銳角，可得，由余弦定理得故整理可得解得或(舍去),又點D在邊AC上, 且所以所以在中，由余弦定理可得 .19. 如圖，在四棱錐中，，，，E為棱的中點，平面.（1）求證：平面；（2）求證：平面平面；（3）若二面角的大小為，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析 （2）證明見解析 （3）【解析】【分析】（1）由題意可證四邊形為平行四邊形，則，結(jié)合線面平行的判定定理即可證明；（2）如圖，易證，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)與判定定理可得平面，結(jié)合面面垂直的判定定理即可證明；（3）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)與判定定理可得為二面角的平面角，即，作，由面面垂直的性質(zhì)確定為直線與平面所成的角，即可求解.【小問1詳解】因為且，所以四邊形為平行四邊形，則，又平面，平面，所以平面；【小問2詳解】由平面，平面，得，連接，由且，所以四邊形為平行四邊形，又，所以平行四邊形為正方形，所以，又，所以，又平面，所以平面，由平面，所以平面平面；【小問3詳解】由平面，平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，故為二面角的平面角，即，在中，，作，垂足為M，由（2）知，平面平面，平面平面，平面，所以平面，則為直線在平面上的投影，所以為直線與平面所成的角，在中，，所以，在中，，即直線與平面所成角的正弦值為. 。