福建省泉州市安溪縣2023～2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期6月份質(zhì)量檢測試題[含答案]

2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期6月份質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）第I卷（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的．1. 下列式子正確的是（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的運算法則，逐項求解，即可得到答案.【詳解】A中，因為，所以，故A錯誤；B中，由基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式易知，故B正確；C中，因為，故C錯誤；D中，，故D錯誤.故選：B.2. 已知某種商品的廣告費支出x(單位：萬元)與銷售額y(單位：萬元)之間有如下對應(yīng)數(shù)據(jù)：x24568y304050m60根據(jù)表中的全部數(shù)據(jù)，用最小二乘法得出y與x的線性回歸方程為＝6.5x＋17.5，則表中m的值為（）A. 45 B. 50C. 55 D. 70【答案】D【解析】【分析】由表中數(shù)據(jù)求出平均數(shù)，根據(jù)回歸直線經(jīng)過樣本中心點，代入求解即可.【詳解】由表可知，，.因為回歸直線會經(jīng)過平均數(shù)樣本中心點，所以＝6.5×5＋17.5，解得m＝70.故選：D．3. 若的展開式中的系數(shù)為10，則x的系數(shù)是（）A. 60 B. 70 C. 80 D. 90【答案】C【解析】【分析】求出展開式的通項，令x的指數(shù)為2，求出r的值，從而可得關(guān)于a的方程，求出a的值，進而可得x的系數(shù)．【詳解】的展開式的通項為，令，可得，所以展開式中的系數(shù)為，解得，令，可得，所以x的系數(shù)為．故選：C．4. 從4名男生和2名女生中選2人參加會議，至少有一名男生，不同的安排方法有（）種．A. 13 B. 14 C. 15 D. 16【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，用間接法分析：先計算全部的選法，排除其中“沒有女生，即全部為男生”的選法，分析可得答案．【詳解】根據(jù)題意，從4名男生和2名女生中選2人參加會議，有種選法，其中沒有男生，即全部為女生的選法有種，則至少有一名男生的選法有．故選：B．5. 在的展開式中，的系數(shù)為（）A. 120 B. 210 C. 720 D. 5040【答案】B【解析】【分析】根據(jù)二項式定理，把每一項的的系數(shù)求出來，然后結(jié)合組合數(shù)的性質(zhì)求和即可【詳解】由題意可得的系數(shù)為．故選：B．6. 某質(zhì)檢員從某生產(chǎn)線生產(chǎn)的零件中隨機抽取了一部分零件進行質(zhì)量檢測，根據(jù)檢測結(jié)果發(fā)現(xiàn)這批零件的某一質(zhì)量指數(shù)服從正態(tài)分布，且落在內(nèi)的零件個數(shù)為81860，則可估計所抽取的零件中質(zhì)量指數(shù)小于44的個數(shù)為（）（附：若隨機變量服從正態(tài)分布，則，，）A. 270 B. 2275 C. 2410 D. 4550【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，由原則可得，即可得到所抽取零件總數(shù)，然后代入計算，即可得到結(jié)果.【詳解】由題意可知，，則所抽取的零件總數(shù)為，故估計所抽取的零件中質(zhì)量指數(shù)小于44的個數(shù)為．故選：B7. 曲線上的點到直線的最短距離是（）A. B. C. D. 1【答案】B【解析】【分析】先求與平行且與相切的切線切點，再根據(jù)點到直線距離公式得結(jié)果.【詳解】設(shè)與平行直線與相切，則切線斜率k=1，∵∴，由，得當(dāng)時,即切點坐標(biāo)為P(1,0)，則點(1,0)到直線的距離就是線上的點到直線的最短距離，∴點(1,0)到直線的距離為：，∴曲線上的點到直線l: 的距離的最小值為.故選：B.8. 已知定義在上的函數(shù)滿足，且有，則的解集為（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，可證明在上單調(diào)遞增，又可計算得，因此【詳解】由題意，構(gòu)造函數(shù)在上單調(diào)遞增又又的解集為故選：B二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9. 下列命題正確的是（）A. 回歸直線恒過樣本點的中心，且至少過一個樣本點B. 在回歸直線方程中，變量與x正相關(guān)C. 變量x，y的樣本相關(guān)系數(shù)越大，表示它們的線性相關(guān)性越強D. 在回歸分析中，殘差平方和越大，模型的擬合效果越好【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)變量之間相關(guān)關(guān)系的有關(guān)概念，回歸直線的特征，回歸分析中相關(guān)系數(shù)和線性相關(guān)性的關(guān)系，殘差平方和和模型的擬合效果的關(guān)系即可判斷．【詳解】對于A，回歸直線恒過樣本點的中心，但可以不經(jīng)過任何一個樣本點，A錯誤；對于B，在回歸直線方程中，，所以變量與x正相關(guān)，B正確；對于C，變量x，y的樣本相關(guān)系數(shù)越大，越靠近，表示它們的線性相關(guān)性越強，C正確；對于D，在回歸分析中，殘差平方和越小，模型的擬合效果越好，D錯誤．故選：BC．10. 圓C：，點為圓C上的動點，則下列結(jié)論正確的是（）A. 的最大值為 B. 的最大值為3C. 的最大值為9 D. 無最大值【答案】AC【解析】【分析】設(shè)，則，利用直線與圓有公共點可求出k的最值，求得P到原點的距離，可求的最大值．【詳解】圓C：的圓心為，半徑為，設(shè)，則，因P在圓上，所以，解得，故的取值范圍是，故A正確，D錯誤；因為的幾何意義為P點到原點距離的平方，又P到原點的距離的取值范圍為，所以的取值范置為，故的最大值為9，故B錯誤，C正確．故選：AC．11. 已知，下列說法正確的是（）A. 在處的切線方程為 B. 單調(diào)遞減區(qū)間為C. 的極小值為 D. 方程有兩個不同的解【答案】AB【解析】【分析】對于A，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解；對于B，求導(dǎo)后，由導(dǎo)數(shù)小于零求解；對于C，求導(dǎo)后求極值；對于D，函數(shù)與的交點個數(shù)判斷.【詳解】對于A，由，得，所以，，所以在處的切線方程為，故A正確；對于B，由，得，解得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，故B正確；對于C，由，得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，取得極大值，故C錯誤；對于D，由C選項可知的最大值為，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)與的圖像的交點個數(shù)為1，即有1個解，故D錯誤.故選：AB.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題的關(guān)鍵點是利用導(dǎo)數(shù)分析得的圖像，從而得解.第II卷（非選擇題92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12. 點A是圓上的一個動點，點，當(dāng)點A在圓上運動時，線段的中點P的軌跡方程為_______.【答案】【解析】【分析】設(shè)，利用中點坐標(biāo)公式可用x，y表示出，再根據(jù)點A在圓上，即可得到答案．【詳解】設(shè)，又點，則，所以，，又點A在圓上，則，即，所以線段AB的中點P的軌跡方程為．故答案為：．13. 在的展開式中，含的系數(shù)為______.【答案】360【解析】【分析】把的展開式看成是5個因式的乘積形式，按照分步相乘原理，求出含項的系數(shù)即可．【詳解】把的展開式看成是5個因式的乘積形式，展開式中，含項的系數(shù)可以按如下步驟得到：第一步，從5個因式中任選2個因式，這2個因式取，有種取法；第二步，從剩余的3個因式中任選2個因式，都取，有種取法；第三步，把剩余的1個因式中取，有種取法；根據(jù)分步相乘原理，得；含項的系數(shù)是故答案為：.14. 若關(guān)于x的不等式對任意恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為_______．【答案】【解析】【分析】變換得到，設(shè)得到，設(shè)，求導(dǎo)得到單調(diào)區(qū)間，計算最值得到答案.【詳解】，即，，設(shè)，恒成立，函數(shù)單調(diào)遞增，故，故，設(shè)，，故，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減；故，故，故答案為：【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒成立問題，意在考查學(xué)生的計算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中，利用同構(gòu)的思想，變換得到是解題的關(guān)鍵.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15. 已知y＝．（1）求該曲線在處的切線方程；（2）求該函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題意求出導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可得切線的斜率，即可得出答案；（2）由題意求得函數(shù)定義域，令，求出的解集，即可得出答案．【小問1詳解】由題意得，∴，當(dāng)時，，∴曲線在處的切線方程為，即；【小問2詳解】由題意得函數(shù)定義域為，，由得，∴函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為．16. 某商場為提高服務(wù)質(zhì)量，隨機調(diào)查了50位男顧客和50位女顧客，每位顧客對該商場的服務(wù)給出滿意或者不滿意的評價，得到下面部分列聯(lián)表：滿意不滿意男顧客10女顧客15（1）分別估計男、女顧客對該商場服務(wù)滿意的概率；（2）能否有95%的把握認(rèn)為男、女顧客對該商場服務(wù)的評價有差異？附：.0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【答案】（1）男顧客對該商場服務(wù)滿意的概率估計為，女顧客對該商場服務(wù)滿意的概率估計為，（2）沒有95%的把握認(rèn)為男、女顧客對該商場服務(wù)的評價有差異.【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件得出相關(guān)數(shù)據(jù)，利用滿意的人數(shù)除以總的人數(shù)，分別算出相應(yīng)的頻率，即可估計所求的概率，（2）根據(jù)已知條件完成列聯(lián)表，利用公式求出，再根據(jù)臨界值表分析判斷.【小問1詳解】由題意可知，50位男顧客對商場服務(wù)滿意的有40人，所以男顧客對該商場服務(wù)滿意的概率估計為，因為50位女顧客對商場服務(wù)滿意的有35人，所以女顧客對該商場服務(wù)滿意的概率估計為，【小問2詳解】由題意可得列聯(lián)表為滿意不滿意合計男顧客401050女顧客351550合計7525100所以，所以沒有95%的把握認(rèn)為男、女顧客對該商場服務(wù)的評價有差異.17. 某鄉(xiāng)政府為提高當(dāng)?shù)剞r(nóng)民收入，指導(dǎo)農(nóng)民種植藥材，并在種植藥材的土地附近種草放牧發(fā)展畜牧業(yè).牛糞、羊糞等有機肥可以促進藥材的生長，發(fā)展生態(tài)循環(huán)農(nóng)業(yè).如圖所示為某農(nóng)戶近7年種植藥材的平均收入y（單位：千元）與年份代碼x的折線圖.并計算得到，，，，，，，其中.（1）從相關(guān)系數(shù)的角度分析，與哪一個適宜作為平均收入y關(guān)于年份代碼x的回歸方程類型？并說明理由；（2）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程，并預(yù)測2023年該農(nóng)戶種植藥材的平均收入.附：相關(guān)系數(shù)，回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為：，，.【答案】（1）適宜，理由見解析（2），87.39千元【解析】【小問1詳解】因為，.對于模型，相關(guān)系數(shù)，對于模型，相關(guān)系數(shù)因為，所以適宜作為平均收入y關(guān)于年份代碼x的回歸方程.小問2詳解】由（1）可知回歸方程類型為，由已知數(shù)據(jù)及公式可得，.所以y關(guān)于x的回歸方程為，又年份代碼1-7分別對應(yīng)年份2016-2022，所以2023年對應(yīng)年份代碼為8，代入可得千元，所以預(yù)測2023年該農(nóng)戶種植藥材的平均收入為87.39千元.18. 設(shè)點M和N分別是橢圓上下不同的兩點，線段MN最長為4，橢圓的離心率.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線MN過點，且，線段MN的中點為P，求直線OP的斜率的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題意得，再結(jié)合，可求出，從而可求得橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線斜率存在且不為零，設(shè)其方程為，將其與橢圓的方程聯(lián)立可得，由解得，寫出韋達(dá)定理并求得，由，得，解得，得，然后設(shè)直線的斜率為，利用點差法可得，從而可求出直線OP的斜率的取值范圍【小問1詳解】由題意可得，解得，所以，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，【小問2詳解】由題意知，直線的斜率存在且不為零，設(shè)其方程為，由，得，由，得，設(shè)，則，所以，因為，所以，得，所以，設(shè)直線的斜率為，因為，所以，化簡得，所以，所以，解得或，所以直線OP的斜率的取值范圍為19. 已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若在定義域內(nèi)有兩個極值點，求證：.【答案】（1）答案見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，分類討論的值，由導(dǎo)數(shù)得出單調(diào)性；（2）由極值點的性質(zhì)以及韋達(dá)定理得出，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式.【小問1詳解】由題意得：的定義域為，令，，當(dāng)，即時，恒成立，即：，在上單調(diào)遞減，當(dāng)，即時，令，解得：，當(dāng)時，，即；當(dāng)時，，即，上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增，【小問2詳解】定義域上有兩個極值點由（1）知且是方程的兩個不等實根，則，，設(shè)，則，，，，則在上為減函數(shù)，，則成立.【點睛】關(guān)鍵點睛：在問題二中，關(guān)鍵在于由極值點的性質(zhì)結(jié)合韋達(dá)定理將雙變量問題，轉(zhuǎn)化為單變量問題，從而由導(dǎo)數(shù)證明不等式.。