高等數(shù)學(xué)向量的乘法運算

單擊以編輯母版標(biāo)題樣式,單擊以編輯母版文本樣式,第二級,第三級,第四級,第五級,#,目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,*,三、向量的混合積,第三節(jié),一、兩向量的數(shù)量積,二、兩向量的向量積,向量的乘法運算,第,七,章,一、兩向量的數(shù)量積,沿與力夾角為,的直線移動,1.,定義,設(shè)向量,的夾角為,稱,記作,數(shù)量積,(,點積,).,引例,.,設(shè)一物體在常力,F,作用下,位移為,s,則力,F,所做的功為,記作,故,2.,性質(zhì),為兩個非零向量,則有,3.,運算律,(1),交換律,(2),結(jié)合律,(3),分配律,事實上,當(dāng),時,顯然成立,;,例,1.,證明三角形余弦定理,證,:,如圖,.,則,設(shè),4.,數(shù)量積的坐標(biāo)表示,設(shè),則,當(dāng),為非零向量時,由于,兩向量的夾角公式,得,例,2.,已知三點,AMB,.,解,:,則,求,故,為,).,求單位時間內(nèi)流過該平面域的流體的質(zhì)量,P,(,流體密度,例,3.,設(shè)均勻流速為,的流體流過一個面積為,A,的平,面域,與該平面域的單位垂直向量,解,:,單位時間內(nèi)流過的體積,:,的夾角為,且,為單位向量,二、兩向量的向量積,引例,.,設(shè),O,為杠桿,L,的支點,有一個與杠桿夾角為,符合右手規(guī)則,矩是一個向量,M,:,的力,F,作用在杠桿的,P,點上,則力,F,作用在杠桿上的力,1.,定義,定義,向量,方向,:,(,叉積,),記作,且符合右手規(guī)則,模,:,向量積,稱,引例中的力矩,思考,:,右圖三角形面積,S,2.,性質(zhì),為非零向量,則,3.,運算律,(2),分配律,(3),結(jié)合律,(,證明略,),證明,:,4.,向量積的坐標(biāo)表示式,設(shè),則,向量積的行列式計算法,(,行列式計算見上冊,P355,P358),例,4.,已知三點,角形,ABC,的面積,.,解,:,如圖所示,求三,一點,M,的線速度,例,5.,設(shè)剛體以等角速度,繞,l,軸旋轉(zhuǎn),導(dǎo)出剛體上,的表示式,.,解,:,在軸,l,上引進(jìn)一個角速度向量,使,其,在,l,上任取一點,O,作,它與,則,點,M,離開轉(zhuǎn)軸的距離,且,符合右手法則,的夾角為,方向與旋轉(zhuǎn)方向符合右手法則,向徑,*,三、,向量的混合積,1.,定義,已知三向量,稱數(shù)量,混合積,.,記作,幾何意義,為棱作平行六面體,底面積,高,故平行六面體體積為,則其,2.,混合積的坐標(biāo)表示,設(shè),3.,性質(zhì),(1),三個非零向量,共面的充要條件是,(2),輪換對稱性,:,(,可用三階行列式推出,),例,6.,已知一四面體的頂點,4),求該四面體體積,.,解,:,已知四面體的體積等于以向量,為棱的平行六面體體積的,故,例,7.,已知,A,(1,2,0),、,B,(2,3,1),、,C,(4,2,2),、,四點共面,求點,M,的坐標(biāo),x,、,y,、,z,所滿足的方程,.,解,:,A,、,B,、,C,、,M,四點共面,展開行列式即得點,M,的坐標(biāo)所滿足的方程,AM,、,AB,、,AC,三向量共面,即,內(nèi)容小結(jié),設(shè),1.,向量運算,加減,:,數(shù)乘,:,點積,:,叉積,:,混合積,:,2.,向量關(guān)系,:,思考與練習(xí),1.,設(shè),計算,并求,夾角,的正弦與余弦,.,答案,:,2.,用向量方法證明正弦定理,:,證,:,由三角形面積公式,所以,因,P22 3,4,6,7,9,(1);(2),10,12,第三節(jié),作業(yè),備用題,1.,已知向量,的夾角,且,解：,在頂點為,三角形中,求,AC,邊上的高,BD,.,解：,三角形,ABC,的面積為,2.,而,故有,。